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第二节 对坐标的曲线积分 一.问题的提出 二.对坐标的曲线积分的概念 三.对坐标的曲线积分的计算 四.两类曲线积分之间的关系 第十章 变力沿曲线所作的功 常力沿直线所作的功 分割 实例 一、问题的提出 求和 取极限 取近似 取 即 近似值 精确值 二、对坐标的曲线积分的概念 1. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 用L上的点: 把L分成n个有向小弧段 曲线弧, 在L上有界. 上任意取定的点. 如果当各小段长度的最大值 的极限总存在, 记作 则称此极限为函数 在有向曲线弧 L上 或称 第二类曲线积分. 对坐标x的曲线积分, 即 类似地定义 称 在有向曲线弧 L上 对坐标y的曲线积分. 积分弧段 被积函数 2. 存在条件 在光滑曲线弧L上 3.组合形式 “点积”形式 第二类曲线积分存在. 连续, 其中 4. 物理意义 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 5. 推广 空间有向曲线弧Γ, 6. 性质 L L1 L2 对坐标的曲线积分与 (1) 则 (2) 有向曲线弧, 则 曲线的方向有关. 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算 思想是 因此下限应是起点的坐标, 化为定积分计算. 上限是终点的 坐标. 定理 连续, 且 特殊情形 (1) (2) 则 则 (3) 推广 例1 解 ⌒ ⌒ (1) (2) 例2 解 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段. 直线AB的方程为 解 化成参数式方程为 于是 例3 A点对应 B点对应 例4 (1) L是上半圆周 反时针方向; 解 A点对应 (2) L是x轴上由点 到点 的线段. (1)中L的参数方程为 B点对应 其中 原式= (2) L的方程为 原式= (2) L是x轴上由点 到点 的线段. 其中 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 补充 在分析问题和算题时常用的 L在上半平面部分与 P(x, y)为 P(x, y)为 其中L1是曲线L的上半平面的部分. 类似地, 对称性质 对坐标的曲线积分, 当平面曲线L是分段 光滑的, 关于 下半平面部分的走向相反时, x 轴对称, 则 y的偶函数 y的奇函数 的讨论也有相应的结论. 对 例 直接化为定积分计算, 取逆时针方向. 解 法一 由曲线积分的性质. 则 其中ABCDA为 将原式分成两部分,即 曲线关于 的走向与L在下半部分的走向相反, 法二 被积函数为 利用对称性质, L在上半部分 x轴对称, y的偶函数. 原式 曲线关于 L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反, 被积函数为 所以, y轴对称, x的偶函数. 四、两类曲线积分之间的关系 设有向平面曲线弧为 则 有向曲线弧L的切向量为 可用向量表示 有向曲线元 则 推广 空间曲线 例 解 所以 把对坐标的曲线积分 化为对弧长的曲线积分. 其中L为沿抛物线 从点(0,0)到(1,1). 思考题 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 对坐标曲线积分的概念 对坐标曲线积分的计算 两类曲线积分之间的联系 五、小结 四步:分割、取近似、求和、取极限 思想:化为定积分计算 对坐标曲线积分的物理意义 变力沿曲线所作的功 关于曲线方向的性质 注意: 对坐标的曲面积分的性质 * *