(例题)直线平面平行的判定和性质.pptVIP

[思路点拨] [课堂笔记]　过A作AE∥CD交α于E， 取AE的中点P， 连结MP、PN、BE、ED. ∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面 AEDC， 则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC ∩β＝AC， ∵α∥β，∴AC∥DE. 又P、N分别为AE、CD的中点， ∴PN∥DE.又PN?α，DE?α， ∴PN∥α. 又M、P分别为AB、AE的中点， ∴MP∥BE，且MP?α，BE?α， ∴MP∥α，又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α. 又MN?平面MPN，∴MN∥α. 开放型试题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题型.结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向. [考题印证] (2010·济南模拟)(12分)如图， 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已 知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC， AB∥DC. (1)求证：D1C⊥AC1； (2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由. 【解】　(1)证明：在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中， 连结C1D， ∵DC＝DD1， ∴四边形DCC1D1是正方形. ∴DC1⊥D1C.┄┄┄(2分) 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， ∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C?平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.┄┄┄┄┄(4分) ∵AD，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D， ∴D1C⊥平面ADC1， 又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.┄┄┄┄┄┄(6分) (2)连结AD1、AE，设AD1∩A1D＝ M，BD∩AE＝N，连结MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN， 要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E， 又M是AD1的中点， ∴N是AE的中点.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分) 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE. 即E是DC的中点. 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分) [自主体验] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M、N分别是面对角线AD1、BD上的点，且AM＝BN＝x. (1)求证：MN∥平面CDD1C1； (2)求证：MN⊥AD； (3)当x为何值时，MN取得最小值，并求出这个最小值. 解：(1)证明：如右图所示， 过M作MR⊥AD，垂足为R，则 MR⊥平面ABCD，连结RN，则 RN⊥AD.过M、N分别作MQ⊥ D1D，NP⊥CD，垂足分别为Q、P，则MQ∥RD∥NP. ∵MD1＝ND， ∴MQ RD NP， ∴MNPQ为平行四边形， ∴MN∥PQ，又MN?平面CDD1C1， ∴MN∥平面CDD1C1. (2)证明：∵AD⊥RN，AD⊥MR， ∴AD⊥平面MRN，又MN?平面MRN， ∴AD⊥MN. (3)由△ARM∽△ADD1得： ＝ ， 由△DRN∽△DAB得： ＝ ， ∴在Rt△MRN中，|MN|2＝|MR|2＋|RN|2 ＝ ＝(x－ )2＋ . ∴当x＝ 时，MN取得最小值 . 1.(2010·西城模拟)已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充 分条件是 (　　) A.存在一条直线b，a∥b，b?α B.存在一条直线b，a⊥b，b⊥α C.存在一个平面β ，a?β，α∥ β D.存在一个平面β ，a⊥ β ，α⊥ β 解析：存在一个平面β，a? β ，α∥ β ?a与α没有公共点?a∥α，其他答案都有可能a在α内. 答案：C 2.设α、β、γ为平面，给出下列条件： ①直线a与b为异面直线，a?α，b? β ，a∥ β ，b∥α； ②α内不共线的三点到β的距离相等； ③α⊥γ， β ⊥γ. 其中能使α∥ β成立的条件的个数是 (　　) A.0　　　　　　　　　B.1 C.2