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练习 解法2 用? = ? 截 ? 得 D(?) 而 0≤ ? ≤2? 故 原积分 = x y z 0 ? 0 1 1 r z 练习 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = （2） 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 例10 计算 其中? ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：x2+y2+z2=1 ? r=1 而 0≤ ? ≤2? 故 用? = ? 截 ? 得 D(?) 原积分 x y z 0 ? x y z 0 ? z 0 1 1 ? ? r=1 例11 和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域. 解： x2+y2+z2=a2? r=a ? 原积分 z y x a ? z y x a ? r=a z 例12 计算 次积分，其中? 为x2+y2+(z?1)2≤1. 解：x2+y2+(z?1)2≤1 ? r=2cos? x y z 0 表为球坐标系中的三 z y ? 例13 解： 作广义球坐标变换 于是 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §3 三重积分 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质 可得 “分割, 近似，求和，取极限” 解决方法: 的质量 M . 密度函数为 一、三重积分的概念 定义 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似. 二、三重积分的性质 例如 下列“乘积和式” 极限 记作 当 ? ? R3，有 X=(x, y, z)?? , d? = dv 则 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz dz dy dx y x z ? 0 则 三、三重积分的计算 1、直角坐标系下的三重积分的计算 x y z 0 z=z2(x, y) z=z1(x, y) D （1）投影法（ 化成一个定积分和一个二重积分） 设 D 为 ? 在 xy 平面上投影区域. y=y1(x) b a y=y2(x) 投影法 (“先一后二” )的基本思想 然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分 在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分，得 微元线密度≈ 则 z x y x+y+z=1 0 例1 计算 其中?是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 1 1 D x+y=1 x y 例2 计算 其中 ? 是由抛物柱面 及平面y=0, z=0, 解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤ y x z ? 0 D 0 y x y=y1(x, z) z 0 ? y=y2(x, z) Dxz y x 【讨论】上面讨论的是投影到xoy坐标平面的情况， 那对于其它区域的情况呢？ x=x2(y, z) z 0 ? x=x1(y, z) Dyz y x 例3 将 化为三次定积分，其中 ? 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将? 向 xoy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 ? D: x2+y2≤1 z=1 ? z=1 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 解2：先对 y 积分，将 ? 向 xz 平面投影： z= x2+y2 ? Dxy: x2 ≤z ≤ 1, z=1 ? 1 ≤x≤1 z= x2+y2 ? x y z 0 Dxz 1 ?1 （2）截面法（化为一个二重积分和一个定积分） ? :(x, y)?D(z), z1≤z≤z2 0 x z y z2 z z2 ? D(z) 例4 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2≤z z?[0, 1] 例5 计算 解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1?x?y z x y 0 1 1 1 x : 0 ≤ x ≤ 1 其中 ? 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. D(x) z=1?x?y x y 0 1?x 1?x 解 原式 （3）三次积分法 设区域