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n 阶矩阵 A 的行列式可定义为 其中和式对 1, 2, ???, n 的所有全排列 p1 p2 ??? pn 求和. 其中 ti 为 pi +1 ??? pn ( p1 ??? pi - 1 )中小(大)于 pi 的数的个数. 逆序数 三阶行列式对角线法则 n 阶行列式 | A | 是方阵 A 的各元素的一个 n! 项多项式, 每一项由方阵 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成, 带有确定的正负号. 例 在四阶行列式 det A 中, 含 a14a22a31a43 的项取 ___号. 解1 其逆序数为 a14 a22 a31 a43 的列标排列为 4213, 或 + 因此含 a14 a22 a31 a43 的项取正号. n 阶矩阵 A 的行列式可定义为 其中和式对 1, 2, ???, n 的所有全排列 p1 p2 ??? pn 求和. 其中 ti 为 pi +1 ??? pn ( p1 ??? pi - 1 )中小(大)于 pi 的数的个数. 逆序数 解2 含 a14 a22 a31 a43 的项为 = a14 a22 a31 a43 . 把矩阵 A 的第 1, ???, i 行及第 p1, ???, pi 列删去后得到一个 n - i 阶行列式, 记此行列式为 Di . | A | 展开式中含 a1p1 的项为 Di -1 展开式中含 ai pi 的项为 项 a1p1 a2p2 ??? an pn 带有的正负号为 n 阶矩阵 A 的行列式可定义为 其中和式对 1, 2, ???, n 的所有全排列 p1 p2 ??? pn 求和. 其中 ti 为 pi +1 ??? pn ( p1 ??? pi - 1 )中小(大)于 pi 的数的个数. 逆序数 M1j 按第k-1列展开(jk), Mik 按第1行展开(i1) n 阶行列式按第 k 列展开(n = 4, k = 2) M1j 按第k列展开(jk). Laplace [按行列展开]定理证明思路图表分析 上页 下页 结束 返回 首页 上页 下页 结束 返回 首页 §1.2 行列式 二、n 阶行列式的定义 一、二阶和三阶行列式 三、行列式的性质 四、行列式值的计算 五、行列式乘法定理 设有二元线性方程组 一、二阶和三阶行列式 ① ② ①?a22 - ②?a12 消去 x2, ②?a11 - ①?a21 消去 x1 得 二阶行列式 记 ——Cramer法则 方程组的解为 当系数行列式 D ? 0 时, ②?a32 - ③?a22 消去 x2, 设有三元线性方程组 ① ② ③ ④ ⑤ ①?(a22a33-a23a32) - ⑤?a12 + ④?a13 消去 x2, x3 得 三阶行列式 ②?a33 - ③?a23 消去 x3 得 记 三阶行列式 当 D ? 0 时, 设有三元线性方程组 ——Cramer法则 三阶行列式对角线法则 例1 解关于变量 l 的方程 解 原方程的解为 记方程左边的行列式为 D(l),则 三阶行列式按行列展开 行和等于 D 观察: 对换 D 的第1, 2行; 对换 D 的第2, 3行. 结果: D 的值反号. 列和等于 D 三阶行列式按行列展开 行和等于 D 对 3 阶矩阵 A = (aij), 删去其第 i 行及第 j 列后得到一个 2 阶行列式, 称此行列式为元素 aij 的余子式, 记为 Mij . 三阶行列式按行列展开 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . 对 3 阶矩阵 A = (aij), 记其行列式为| A |(= D), 则 (按第 j 列展开) (按第 i 行展开) 行和等于 D 列和等于 D 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . 假设 n - 1 阶行列式已定义. 对 n 阶矩阵 A = (aij), 删去其 第 i 行及第 j 列后得到一个 n - 1 阶行列式, 称此行列式为 元素 aij 的余子式, 记为 Mij . n 阶方阵 A 的行列式记为 det A(或 | A | ), 定义为 n 阶行列式 | A | 是方阵 A 的各元素的一个 n! 项多项式, 每一项由方阵 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成, 带有确定的正负号. 二、n 阶行列式的定义 对计算更有好处. 将 n 阶行列式 det A 记为 n 阶行列式 | A | 是方阵 A 的各元素的一个 n! 项多项式, 每一项由方阵 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成, 带有确定的正负号. 对角线法则只适用于二、三阶行列式 提问: