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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E_mail:jfzhu@zju.edu.cn 一、无穷小 三、无穷大 2、无穷大的运算性质 3、无穷小与无穷大的关系 例. 求 解. 例. 求 解. 例. 求 定义： 例： 求 解 原式 例 解 * * 第三节 函数极限 一、 函数极限的概念 二、 函数极限的性质 三、 函数极限存在的准则 五、 两个重要极限 四、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 语言表述 当 时 ,有 则 例如, （4）不能说函数 是无穷小, 应该说在什么 情况下的无穷小. 即指出自变量的变化过程. （5) 同样有 　时无穷小. 注意: （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）此概念对数列极限也适用. 若 ,称 数列 为 的无穷小。 有界量与无界量 若存在 的某空心邻域 ，使f (x) 在 内有界，则称f (x)当 时是有界量。 对 无论多么小的某空心邻域 ，任给M 0 ，存在 x’ ,使|f (x’)| M，称 f (x) 当 　　　时是无界量。 定义： 定义： 2、无穷小与函数极限的关系: 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 例如, 注意　无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 不可比. 不存在. 二、无穷小的比较 定义: 例如， 例： 证明 证 必要性 充分性 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 不是无穷大． 无界， 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 证 (2)在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量. (3)在某极限过程中,有限个无穷大量之积仍是一个无穷大量. 不是无穷大量 是无穷大量 考察 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？ 考察 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量. 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 解: (1) 证明 四、两个重要极限 例. 求 例.求 推广: * * *