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于是 (l1-h1)a1+(l2-h2)a2+...+(lm-hm)am=0. * * * * 定义：n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为一个n 维向量。 第3.1节 n维向量定义 向量通常写成一行： 有时也写成一列： 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 向量相等：如果 n 维向量 若 就称这两个向量相等，记为 对于单位矩阵 它的n个列向量分别记为 称为n维基本向量。 向量加法：向量 称为向量 的和，记为 负向量：向量 称为向量 的负向量 向量减法： 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积。记为 一、 线性运算定义 二、线性运算律 注： （1）对任意的向量 存在唯一的零向量 使得 （2）对任意的向量 存在唯一的负向量 使得 （4）如果 则 （3） 三、 向量空间的概念 说明: n维向量的全体 ，也是一个向量空间。 定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合V 为向量空间． 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 例1： 3维向量的全体 是一个向量空间。 例2: 判别下列集合是否为向量空间. 解： 所以， 是向量空间。 (2) 不是向量空间。 二、向量的线性关系 定义1：给定向量组 对于任何一组实数 向量 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 和向量 如果存在一组实数 使得 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。 例如： 有 所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 定理1: 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 以 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 或者，令 三、向量组的线性相关性 几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 定义3： 例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 线性______关。 (2) 向量 线性______关。 相 相 判断线性相关性的定理 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示 向量组 线性相关 定理2： 推论： 向量组 线性无关 任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示 (1) 证 设a1,a2,...,am线性相关, 则存在m个不全为0的数k1,k2,...,km, 使 必要性得证. k1a1+k2a2+...+kmam=0. 不妨设k1?0, 于是由向量的线性运算性质得 显然1,-l2,-l3,...,-lm不全为0, 故a1,a2,...,am线性相关. 再证充分性, 不妨设a1可用a2,a3,...,am线性表示, 即 a1=l2a2+l3a3+...+lmam, 于是有 1a1-l2a2-l3a3-...-lmam=0, 解：设数 使得 成立。 即 未知量为 系数行列式 齐次线性方程组有 非零解，所以向量 线性相关。 向量 对应分量不成比例，所以线性无关。 例2 已知 ，试讨论向量组 的线性相关性。 n维向量组 线性相关 定理3: 证 设 x1a1+x2a2+...+xmam=0, （3.7) 即 推论1： n维向量组 线性无关 推论3： n个n维向量线性无关 即 它们所构成方阵的行列式不为零. 推论2： mn时， m 个n维向量必线性相关. （注：m个未知数，却只有n个方程） 例3: n维向量 讨论它们的线性相关性. 所以: 线性无关 解: 线性相关及表示的定理 定理4： 向量组 线性无关, 而向量组 线性相关, 则向量 必能由向量组A线性表示，且表示式唯一. 证 ： 因b,a1,a