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第三章 中值定理与导数应用 第一节 中值定理 中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数单调性的判别方法 函数的极值及其求法 最大值、最小值问题 曲线的凹凸性、拐点与渐近线 曲率 方程的近似解 导数是研究函数性质的重要工具. 仅从导数概念无法体现这种工具的作用, 需要微分中值定理作为桥梁. 中值定理是微分学应用的理论依据之一, 它是微分学的理论基础, 它在研究函数的整体性态起到重要作用. 本章先介绍微分中值定理, 然后以微分中值定理为理论基础, 以导数为工具, 先给出求一类特殊极限——未定式极限的一种简便求法, 其后讨论函数的单调性、极值、最值在经济领域的一些应用和函数曲线凸性与拐点. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯 西中值定理. 罗尔(Rolle)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 定理1 (罗尔定理)设函数 ?(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间 (a, b)上可导; (3) ?(a) = ?(b); 则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 b o x A B y=f(x) a y 罗尔定理的几何意义: 函数?(x)在[a, b]上的图形是连续 曲线段 AB, 如果除端点外, 处处 具有不垂直于 x 轴的切线, 且在闭 b o x A B y=f(x) a y 区间[a, b]的两个端点 a 与 b 处的纵坐标相同, 即 ?(a) = ?(b) 此时线段 AB 平行于 x 轴, 则在曲线上至少能找到一点C(ξ? ?(ξ)), 使曲线在点 C处的切线平行于x 轴, 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得, 由此启发了我们的证明思路. 从而该点 C 处的切线斜率为 ?(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若M = m, 则?(x)在[a , b]上恒为常数. 从而 证 因?(x)在闭区间[a, b]上连续, 故 故在(a , b)内的每一点都可取作ξ, 定理显然成立. 从而在区间(a , b)内至少存在一点ξ, 使得 ?(ξ) =M. 则数 M 与 m 中至少有一 (2) 若 ,而　 ?(a) = ?(b), 个不等于端点的数值, 不妨设 下面证明 因为?(ξ) = M,则不论 Δx 0 或 Δx 0, 恒有 当Δx 0时, 有 而?(x)在(a, b)内可导, 则 当Δx 0时, 有 故必有 则对式(1)和式(2)取极限有 　注1 罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可. 即缺一条件可能使结论不成立. 举例说明: 例1 函数在 f(x) 在 [0,1]的左端点 x=0 间断, 不满足在闭区 间连续的条件, 此时虽然满足定理另 外两个条件, 但显然没有水平切线. o x y=f(x) y 例2 函数在 f(x) 在 x=0 不可导, 因而不满足在开区间 内可导的条件, 此时虽然满足定理另 外两个条件, 但显然没有水平切线. o x y y=f(x) 例3 , 虽然函数在 f(x) 在[0,1]上连续, 在(0,1) 内可导, 但 f(0) =0, f(1)=1, 即在两端点函数值相等的 条件不满足, 但显然没有水平切线. o x y y=f(x) 上面三个例子说明, 罗尔定理的三个条件都成立, 结论才成立. 注2　罗尔定理中的三个条件是充分但非必要的,　如 o x y=f(x) y ° ? π 函数在其定义域内存在 和ξ = π, 使 　注3　罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在一个ξ , 而不能肯定ξ 的个数, 也没有指出实际计算ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出ξ . 但是此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足. 　例4 验证函数 在区间[–1, 2]上满足罗尔定理的条件, 并求出满足此结论中的ξ值. 解 因为 ?(x) 是初等函数, 其定义域为 则 ?(x)在 [–1, 2] 上连续, 在(–1, 2)内存在, 即?(x)在 (–1, 2）可导. 　而?(–1) = ?(2) = 0.即?(x)在 [– 1, 2]上满足罗尔定理的条件. 解得 于是由 ，得 则满足题意的点为 利用罗尔定理可以证明一些方程根的存在性. 因为函数?(x)在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间(0, 1