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中值定理与导数的应用 二、三重积分的直角坐标计算法 四、三重积分的球面坐标计算法 0 x z y M(r,?,?) r ? ? N y x z 空间任一点 M 还可用 球面坐标． 由图可知直角坐标与 圆锥面； 球 面； 半平面． 且 球面坐标的关系: 可以证明球面坐标系下的体积元素为: 从而在球面坐标系下三重积分可表示为 * 三重积分的概念及其计算法 第四节 复习 二重积分的概念 设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域D上有界， 将 D 任意分成 n 个无公共内点的小区域 每个小区域的面积记作 在每个小区域上任意取一点 作和式 如果上述和式的极限存在， 点Pi 的取法无关， 并且与区域 D 的分法及 则称此极限值为函数 f (x,y) 在 区域 D 上的二重积分， 记作 此时也称函数 f(x, y) 在区域 D 上是可积的． 即 一、三重积分的概念 1. 定义 设函数 f (x,y,z)在空间有界闭区域Ω上有界， 将Ω 任意 分成 n个无公共内点的小区域 每个小区域的体积记作 在每个小区域上任意 取一点 如果上述和式的极限存在， 并且与区域Ω的分法及 则称此极限值为函数 f (x,y,z) 在 记作 此时也称函数 f(x,y,z) 在区域 Ω上是可积的． 作和式 点Pi 的取法无关， 区域Ω上的三重积分， 由定义 其中： f (x,y,z) 称为被积函数， Ω 称为积分区域， f (x,y,z)dv 称为被积表达式， dv 称为体积元素， 积分和． 2. 函数可积的条件 可以证明：如果 f (x,y,z) 闭区域 Ω上连续， 则 f (x,y,z) 在Ω上可积． 特别地：如果 f (x,y,z) ≡1， 则有 三重积分有与二重积分完全类似 的性质． 故在空间直角坐标系下体积元素为： 从而在直角坐标系下三重积分可表示为 与二重积分类似， 三重积分可化为三次积分 进行计算． 设区域Ω 的下、上边界曲面 方程为 求积分 三次积分 注意积分区域Ω 的特点 先关于z 积分 故 先关于x 积分 故 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y ?：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例2 将 化为三次积分， 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y ?：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例2 将 化为三次积分， 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 ?：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例2 将 化为三次积分， 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 4 2 6 x 0 z y ?：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例2 将 化为三次积分， z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y ?：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 例2 将