-单调性与凹凸性.pptVIP

泰勒中值定理 : 在泰勒公式中若取 泰勒公式的应用 证明 e 为无理数 . 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 例2. 确定函数 例3. 证明： 二、曲线的凹凸与拐点 2. 凹凸判定法: 例4. 判断曲线 例5. 求曲线 内容小结 思考与练习 * 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 §3.3内容回顾 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . ③ 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 此时条件可降低为 (或 ) 证明: 当 仅证明: (n-1次洛必达法则) =0 (5) (4) (3) (2) (1) 注: 几个初等函数的麦克劳林公式 1． 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 2．利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 解: 已知 求 另解：原式＝ 所以… 解: 设f(x)在x=0的附近二阶可导且 求 及极限 所以 或 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 §3.4 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 定理 1. 设函数 则 在 I 上严格单调递增 (递减) 证: 不妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内严格单调递增. 在区间 I 上连续在区间 I 内可导,若 1.定义(略P12) 2.判定定理 定理 1. 设函数 则 在 I 上严格单调递增 (递减) 在区间 I 上连续在区间 I内可导,若 2.判定定理 注:1 是函数在区间上单调的充分条件, 并非必要．函数单调增(减)可能在个别点的导数为零，如 在(-∞,+∞)上递增但 甚至不可导，如 在(-∞,+∞)上递增但 不存在. 注:2 函数单增与单减的分界点只能是导数为零的点或 导数不存在的点. 它们将函数的定义域分成若干个单调 区间. (请阅读P147例3后的一段话) 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 或 或 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为:… 的单调减区间为:… 在x=±2处不可导. 时, 证: 令 另证: 总之x≠0时, 时, 时, 即 1定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线y＝f(x)上的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . (1) 在 I 内 则 在 I 上图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 上图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 在区间I 上连续,在I内二阶可导 证毕 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 凹凸区间与拐点. 解: 0 因此曲线 凹区间为 : 凸 凹 × 凹 拐点 凸区间为 : 拐点为: 1. 可导函数单调性判别:… 2.曲线凹凸与拐点的判别… 拐点 — 连续曲线y＝f(x)上的凹凸分界点 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 设在 作业 P152 3 (2),(7) ; 5, (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; 15 证明: 当 时， 有 证明: 令 , 即 在 上是凸的