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* 第二章 连续信号与系统的时域分析 第 2 章 连续信号与系统的时域分析 信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。 自20世纪60年代以来，随着状态变量概念的引入， 现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。 2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法 正弦信号 指数信号 奇异信号 2.1 连续时间基本信号 一个复杂信号可以看成一系列简单的基本信号单元的 线性组合。 2.1.1 奇异信号 δ(t)的n次积分为 由此得到一系列函数 这样的函数族统称为奇异函数。 或者 2.1.2 正弦信号 随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号， 简称正弦信号。 式中，A、ω和φ分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。 正弦信号的一般形式表示为 2.1.3 指数信号 连续时间指数信号，简称指数信号 根据式中A和s的不同取值，具体有三种情况。 (1) 若A=a1和s=σ均为实常数，则f(t)为实指数信号 (2) 若A=1，s=jω，则f(t)为虚指数信号 根据欧拉公式， 虚指数信号可以表示为 (3) 当A和s均为复数时， f(t)为复指数信号。 若设 A=|A|ejφ， s=σ+jω 则f(t)可表示为 复指数信号实部和虚部的波形 2.2 卷积积分 2.2.1 卷积的定义 设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，将积分 定义为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 记为 2.2.2 卷积的图解机理 信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：  第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。  第二步，将f2(τ) 翻转180°，得到 f2(-τ)波形。  第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t0时， 波形往左移；在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。  第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。  第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。  第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 例 2.2 – 1 给定信号 求y(t)=f1(t)*f2(t)。 解： 2.2.3 卷积性质 卷积代数 卷积运算满足三个基本代数运算律，即  交换律 结合律 分配律 性质1 (1) 信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即 性质2 f(t)与奇异信号的卷积 证： (2) 信号f(t)与冲激偶δ’(t)的卷积等于f(t)的导函数， 即 证： (3) 信号f(t)与阶跃信号ε(t)的卷积等于信号f(t)的积分， 即 证： 卷积的微分和积分 性质3 证： (2) (3) 同理，可将f2(t)表示为 当f1(t)和f2(t)满足 对另一个函数进行k次积分的情况，即 卷积时移 性质4 证：