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函数与极限 第一章 第一节 函数 一、基本概念 二、几个特殊的函数举例 星形线(内摆线的一种) 摆线 四、基本初等函数 五、复合函数 初等函数 六、函数的特性 七、反函数 八、小结 作 业 3、对数函数 4、三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5、反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 1、复合函数 定义: 例如： 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 2.函数的运算 3.初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 1．函数的有界性: 使得: 使得: M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 注意：1、M不唯一，只要找到一个就可以； 2、有界性的讨论可以不在整个定义域上进行。 同学们来判断，以下函数哪些是有上界，哪些是有下界，哪些是有界的？ 1.有界 2.有界 3.有下界 4.有上界 5.无界 2．函数的单调性: x y o x y o 第三章将会介绍用更简单方法判断函数的单调性。 注意：函数的单调性的讨论通常是分区间的。 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 其定义域D不是关于原点对称的，因此，不能称为偶函数。 奇函数 y x o x -x 注意：1、函数奇偶性的讨论必须在定义域上进行。 2、定义域一定是关于原点对称的。 3、若函数在x=0处连续则 f(0)=0 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. * * 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 一、基本概念 二、几个特殊的函数举例 三、认识与欣赏（关注图形的特征） 四、基本初等函数 五、复合函数 初等函数（强调定义） 六、函数的特性（难点是有界性） 七、反函数 八、小结 1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 2.邻域: 邻域是一个对称的开区间 (1) 符号函数 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 （小于等于x 的最大整数） 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 注：举反例时别忘了我哦！ 例如： (4) 取最值函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. （5） 分段函数 例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式. 解 单三角脉冲信号的电压 例2 解 故 三 认 识 与 欣 赏 1、显函数 2、隐函数 3、参数方程表示的函数 星形线 或 弧 长 : 所围面积 : 轨迹 : 半径为 半径为 a 的定圆滚动时, 其上 定点 M 的轨迹即为星形线 的动圆圆周沿 结束 点击图片任意处 播放开始或暂停 摆线(旋轮线) 点击图中任意点动画开始或暂停 半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上 定点 M 的轨迹即为摆线 . 轨迹: 结束 关于函数图形的绘制： 1.在第三章的第六节学习函数图形的绘制方法； 2.用电脑绘制，使用MATLAB应用软件，在《数学试验》选修课中专门学习如何使用MATLAB应用软件； 3.用Excel函数绘制。 初等数学中有关函数的知识有 哪些在高等数学中还将不断用到？ 三种基本初等函数及其性质 1. 幂函数及其反函数 2. 指数函数及其反函数 3. 三角函数及其反函数 幂、指、对、三角、反三角 1、幂函数 2、指数函数 * *