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无穷级数 第十一章 级数 第一节 级数的概念和基本性质 一、问题的提出 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件 六、小结 * 高等数学（下） * 高等数学（下） 河海大学理学院 高等数学（下） 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 1. 级数的定义: (常数项)无穷级数 一般项或通项 部分和数列{Sn}: 级数的部分和：前 n 项之和 2. 级数的收敛与发散: 余项 注: (1)当 收敛时 , Sn 可看成是和的近似值 . 即当 收敛时 , (2) un ＝ Sn－ Sn－1(n1) u0 ＝0 无穷级数收敛性举例：Koch 雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上 对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形． 如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们 就得到了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花”． 例如:证明 Euler 数 是存在的 . 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 周长为 面积为 第 次分叉： 于是有 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）． 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 证 矛盾. 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 例如： 收敛 . 发散 . 收敛级数与发散级数的和一定发散 . 两发散级数的和其敛散性则不一定. 线性: 证 则一定存在一项 N ,当 n＞N时，有 记 ， 的部分和分别为 . 常数 则 因此 存在 . (往后性) 证 加括号后,得到一新级数: 记它的部分和为 , 则 (无穷和式的结合律) (加括号性) 注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 例如： ( ) ( ) ( ) 通项与部分和的关系: 1)un ＝ Sn－ Sn－1(n1), 证 级数收敛的必要条件是它的一般项趋于零.即 注意 2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 1.仅仅是必要条件,不是充分条件. 发散 五、Cauchy收敛原理 |Sn+p－Sn| 例如 能． * * * *