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无穷级数 一、泰勒级数 泰勒 ( Taylor ) 级数的概念 待解决的问题 : 定理 说明:(1) 二、函数展开成幂级数的方法 例1. 将函数 例2. 将 内容小结 思考与练习 * 第7节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第7章 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 ?问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 为f (x) 在 处的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内可展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 必要性：若 在 内可展开成泰勒级数， 而根据泰勒公式，又有 即有 故 充分性：设 由泰勒公式得 于是 即 的泰勒级数在 内收敛并且和函数为 如果函数f (x)在 内能展开成 的幂级数 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 那么这个幂级数必定是泰勒级数，即 的幂级数展开式 是唯一的。 (2) 当 在 内有各阶导数时，它的泰勒级数 只是用 作为系数而形式地构造出来的一个幂级数， 这个幂级数即使在 内的每点处收敛，也未必收敛 于 。 关键在于泰勒公式中的余项是否满足： 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为0; 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 第四步 当 时，检查所求得的幂级数在 收敛区间 的端点 处的收敛性. 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 类似可推出: 例3 解 牛顿二项式展开式 注意: 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例7 解 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 式的函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *