-微分方程式的建立与求解.pptVIP

系统分析过程 主要内容 一．数学模型——微分方程的建立 例1 例2 二．n 阶线性时不变系统的描述 三.时域经典求解法:齐次解+特解 说明 电容电压的突变 例1 例2 (2) 几种典型激励函数相应的特解 例 （经典法求解电路响应的例子） （1）列写电路的微分方程 (2)求系统的完全响应 (3) (4) 四.微分方程经典求解法总结 1.全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应) X 第 * 页 北京邮电大学电子工程学院 2003.1 第二章 连续系统的时域分析 引言 时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分方程。这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。 本章中我们主要讨论输入、输出描述法 经典法:前面电路分析课（高数）里已经讨论过，但与?(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t) 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法) 本章主要内容 系统数学模型的建立 系统完全响应的求解 冲激响应h(t)的求解 卷积的图解说明 卷积的性质 系统零状态响应 物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法(复习) 第一节 连续时间系统的数学模型 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系(伏安特性)以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。 电感 电阻 电容 根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压 与激励 间的关系。 ( ) t i s R R i L L i C c i a b + - ( ) t v 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。 对于复杂系统，储能元件越多, 阶数越高;只要参数恒定,且无非线性元件,系统可表示为LTI高阶微分方程。 m s F 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧 牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为 一个线性系统，其激励信号f(t)与响应信号y(t)之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述 若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。 1．微分方程的描述 2、系统模拟框图与微分方程 阶次：方程的阶数由响应的最高阶导数决定。 即由独立动态元件的个数决定。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件与初始状态的区别 齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 全 解：齐次解+特解。 由初始条件(0+值)代入全解中确定出齐次解系数 注意: 初始状态: 初始条件: t=0-状态, f(t)=0 反映的是系统的历史信息,与激励无关. t=0+状态, f(t)≠0 包含激励的作用,不便于描述系统的历史信息. 一般系统的初始状态是在激励作用系统之前确定的.即反映的是系统的储能状况. 当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端激励项是否包含 及其各阶导数项。 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则： 对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况; 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 状态就会发生跳变。 由伏安关系 当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时： 电感电流的突变 如果　　为有限值， 冲激电压或阶跃电流作用于电感时： 系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为 如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 给定微分方程式 为使等式两端 平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到 所以，特解为