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一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四.二次曲面 五、小结 */28 * 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面的实例： 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程. 化简得 即 【说明】 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. [引例] 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. [解] 设轨迹上的动点为 【定义1】 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 以下给出几例常见的曲面. 故所求方程为 【例1】 求动点到定点 方程. [已知轨迹求方程] 特别,当M0在原点时,球面方程为 【解】 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 表示上(下)半球面 . 【例2】 研究方程 【解】 配方得 此方程表示: 【说明】 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. [已知方程求轨迹] 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹. *【例 3】方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 【解】 用截痕法 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 ： (2)已知坐标间的关系式(即方程)，研究曲面形状． 如例2、例3 该种情形重点讨论：旋转曲面 该种情形重点讨论：柱面、二次曲面 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程．如引例和例1 ( 必要时需作图 ). 【定义2】一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . [例如] 旋转曲面的母线 母线 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 【思考】当曲线 C 绕 y 轴旋转时，所得旋转曲面 方程如何？ 【总结】 （2）凡曲面方程中出现两个变量的平方项且系数相等者， 一定是旋转曲面.旋转轴是另一个变量对应的坐标轴 （母线为平面曲线） （1）类似可写出xoy面、zox面上的曲线分别绕其坐标轴旋转 所成的旋转曲面方程. 【例3】 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为? 的圆锥面方程. 【解】 在yoz面上直线L 的方程为 绕 z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 【结论】 二次齐次式一定是锥面.若同时又有两项系数相等，则必为圆锥面. 【例4】 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 【解】绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 [引例] 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 【解】在xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面. 故在空间坐标系中 过此点作 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 【定义3】 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做(直)母线. 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线: xoz 面上的曲线 l3. 母线: 柱面, 准线: xoy 面上的曲线 l1. 母线: 准线: yoz 面上的曲线 l2. 母线: 实 例 椭圆柱面，母线// 轴 双曲柱面，母线// 轴 抛物柱面，母线// 轴 【结论】若柱面的母线平行于坐标轴，则该柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与其准线方程（在形式上）相同. 其直母线平行于缺少的变量对应的坐标轴. 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 锥面、