-柱坐标系和球坐标系下的计算法.pptVIP

三重积分的计算（续） 1. 利用柱坐标系计算 2. 利用球坐标系计算 * 练习：用投影法计算 其中 由 围成。 4 解 * 一、在柱坐标系下的计算法 规定： * 圆柱面 半平面 平 面 如图，柱面坐标系中的体积元 然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后 * * 例2. 计算 其中?：x2+y2+z2 ? 1, 且z?0. 解： ?是上半球体,它在xy面上的投影区域是单位　　　圆x2+y2 ≦ 1.　 令 x=rcos?, y=rsin ?, z=z, 则平面 z = 0 和球面 即0 ? z ? 且0 ? r ? 1, 0 ? ? ? 2?, * 　　　　　　　　　　　其中?由x2+y2=2z及z=2所围成. 例3. 求 解：一般,若?的表达式中　　含有x2+y2,则可考虑用　　柱面坐标积分. 令x=rcos?, y=rsin?, z=z, 且 ? z ? 2, 0 ? r ? 2, 0 ? ? ? 2?. x z y x2+y2=2z x2+y2=4 或 r=2 o 2 * 　　注：常用的二次曲面有, 球面, 椭球面, 柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(圆锥面). * 练习 解 将 投到 xoy 面得 D: 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。 * 二、在球坐标系下的计算法 * 规定: 球 面 圆锥面 半平面 * 如图，球面坐标系中的体积元素为 然后把它化成对 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是 * 例4 计算 其中 由 围成. 解： * 解 用球坐标 * 解 * 注: 若积分区域为球体、球壳或其一部分 被积函数呈 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单 通常采用球坐标。 * 例7 计算 其中 由 围成. 与 * 注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键 (1).区域由平面围成,常选择直角坐标系; 一般的: (3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系. (2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系; * 补充：利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． “你对称，我奇偶” * ① 关于 xoy 面对称 ② 关于 xoz 面对称 * ③ 关于 yoz 面对称 * 思考题 * 作业 P106 8; 9 (2); 10 (2) ; 11(1),(3) ;12(1) *