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说明: 例4. 证明 例5. 二 函数的凹凸性与拐点 定理2.(凹凸判定法) 例1 例2 例3. 求曲线 例4 注意: 求极值步骤： 例３. 求函数 例3. 求函数 例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例５. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 F 作 解: 例６. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 说明：在经济学中 2. 设 3. 设 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. * 四　函数的最大值和最小值 在闭区间上的连续函数，必有最大值和最小值 * 例４ 解 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. * 1、函数在闭区间上为单调函数时，最值在端点上取得； 2、在实际问题中，函数在开区间内驻点唯一，则该点相应的极值即为最值。 几种特殊情形下函数的最大值与最小值 * ( k＞０ 为某常数 ) AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运 为使货物从B 运到工 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 厂C 的运费最省, 从而为最小值点 , 问D点应如何取? Km , 公路, 价之比为3:5 , 用开始移动, 解: 克服摩擦的水平分力 正压力 即 令 则问题转化为求 的最大值问题 . 设摩擦系数 问力F 与水平面夹角 ? 为多少时才可使力F 的最小? 令 解得 而 因而 F 取最小值 . 即 令 则问题转化为求 的最大值问题 . 清楚(视角? 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 唯一, 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 售出该产品 x 千件的收入是 解: 售出 x 千件产品的利润为 问是否 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 称为边际成本 称为边际收入 称为边际利润 由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上 即边际收入＝边际成本 （见右图） 成本函数 收入函数 即 收益最大 亏损最大 作业P162 1（1，9），3，4（1),10,15 * 总复习题三 思考与练习 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 在 的某邻域内连续, 且 则在点 处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 是方程 的一个解, 若 且 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A * 谢 谢! * * * * * * * * * * * * * * * * * 第四节　函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 第五节　函数的极值与最值 * 一、　函数的单调性判定 ?1 ?2 o X y k0 k0 ?2 ?1 X y o * * 在（-? ，+ ?）上为增函数 一、 函数单调性的判定法 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增， 证: 任取 由拉格朗日中值定理得 在开区间 I 内可导, 证毕 若 则 在 I 内 单调递增， * 例1 解 * 例２. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, P.146 例1，2，3 驻点：导数值为０的点。 * 例3 证：令 * 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 证: 只要证 故原不等式成立. * * 凸函数 * 凹函数 * 0 y x 0 y x 凹函数 x逐渐增大，切线倾斜角?逐渐增大 , 斜率k逐渐增大 x逐渐增大， f (x)逐渐增大 f (x)是增函数 f (x)0 * 0 y x x逐渐增大，切线倾斜角?逐渐增小,斜率k逐渐减小 0 x