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4. 设 求 解: 方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式. 练 习 题 二、高阶导数的运算法则 第四节 高阶导数 一、高阶导数的概念 一、高阶导数的概念 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 定义. 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 设 求 解: 依次类推 , 例1. 可得 思考: 设 问 特别地 ， 例2. 设 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 例4. 设 求 解: 一般地 , 类似可证: 练习： 例5 . 设 例6. 设 求使 存在的最高 2 阶数 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及 设函数 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 例7. (3) 提示: 令 解: 例8. 求 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, (1) 设 则 (2) 已知 任意阶可导, 且 时 则当 思考与练习 3. 试从 导出 解： * 化简 * 运行时, 点击“莱布尼兹(Leibuniz)公式” 或“推导“按钮可显示莱布尼兹公式的简单推导, 演示完毕自动返回. 返回 第二章 一元函数微分学 微积分 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 第二节 函数的求导法则 思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等函数求导公式 初等函数求导问题 本节内容 一、四则运算求导法则 定理1： 推论： 例1、 求导数： 问题： 提示： 由四则运算法则推导。 二、反函数求导法则 定理2： 由上述定理可导出反函数的导数。 例2、 推导下列公式： 小结: 补： 双曲函数 双曲正弦函数： 双曲余弦函数： 双曲正切函数： 双曲余切函数： y=sinhx与y=coshx的图象： y=sinhx y=coshx y x O 1 由双曲函数的定义，不难推出类似于三角函数的一些恒等式（15页）： (1) cosh2x-sinh2x=1 (2) sinh2x=2sinhxcoshx, cosh2x=cosh2x+sinh2x (3) sinh2x=(cosh2x-1)/2, cosh2x=(cosh2x+1)/2 (4) 三、复合函数求导法则（重点） 定理3： 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例3、 求导数： 类似可证 例4、 求幂指函数的导数： 例5、 求抽象函数的导数： 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 问题： 答案： 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数 例7. 求 解: 例8. 设 求 例9. 设 解: 求 例10. 求 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 不漏不重，适当化简 内容小结 求导公式及求导法则 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 1. 思考与练习 对吗? 2. 设 其中 在 因 故 正确解法: 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 返回 第二章 一元函数微分学 微积分 * 化简 * 运行时, 点击“莱布尼兹(Leibuniz)公式” 或“推导“按钮可显示莱布尼兹公式的简单推导, 演示完毕自动返回.