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定义: 如果非零向量u 与f(u) 平行, 则称u为f 的一个特征向量; 此时有唯一实数?使得 f(u) = ?u, 称?为f 的一个特征值, 也称u为f 的属于特征值?的特征向量. 求法: 设f 在仿射坐标系I中的公式为 变换矩阵A 3.3 仿射变换不动点特征向量 ? 仿射变换的特征值和特征向量 则非零向量u(x0, y0)是 f 的属于特征值?的特征向量当且仅当 当且仅当下面齐次线性方程组有非零解: 当且仅当行列式 称为 f 的特征方程 或 即 (4.6) (4.7) 3.3 仿射变换不动点特征向量 步骤1. 求特征值, 即特征方程的解. 步骤2. 对每一特征值 ? , 求齐次方程组 的非零解, 即为 f 的属于特征值?的特征向量. 或 这样求仿射变换特征向量和特征值的步骤如下: 3.3 仿射变换不动点特征向量 例 4 设f 是位似系数为k 的位似变换, 求f 的特征 向量与特征值. 解: 由例3可知, 位似变换在任何仿射坐标系中的 变换矩阵都是数量矩阵kE, 故其特征方程为 ?2?2k? +k2 = (? ? k)2 = 0, 从而 f 有两个相同的特征值?1 = ?2 = k. 对于?1 = ?2 = k, 齐次方程组 (4.6) 中两个方程都是 恒等式0 = 0, 故任何非零向量都是 f 的特征向量. 直观上, 位似变换将任何非零向量映成与之平行 的向量, 故任何非零向量都是f 的特征向量. 3.3 仿射变换不动点特征向量 求法: f 的不动点即为下面方程组的解. 于是当行列式 定义 设 f : ? ?? 是一个仿射变换, P ? ? . 如果 P 在 f 下不动, 即 f (P) = P, 则称 P 为 f 的一个不动点. ? 仿射变换的不动点 3.3 仿射变换不动点特征向量 (1) 不为零时(即1 不是 f 的特征值), f 有唯一不动点. (2) 为零且方程组无解, 此时f 无不动点. (3) 为零且两个一次方程同解, 此时f 有无穷多个不动点. ? 若 f = id, 则每一点都是不动点; ? 否则 f 的不动点构成一条直线: (1?a11) x ? 2a12y ? b1 = 0. 3.3 仿射变换不动点特征向量 例 5 已知仿射变换 f 在一个仿射坐标系中的 变换公式为 (1) 求f 的不动点和特征向量; (2) 求f 的变积系数; (3) 作仿射坐标系, 使得原点是不动点, 坐标轴 平行于特征向量, 求f 在此坐标系中的变换公式. 解: (1) 解方程组 得f 的不动点 为点O (?1/2, ?2) . 3.3 仿射变换不动点特征向量 解特征方程 ?2 ? 9? +18 = 0 得f 的特征值为 ?1 = 3, ?2 = 6. 对于?1 = 3, 解齐次方程组 得 f 的属于?1 = 3 的特征向量为 k(1, 4)T (k ? 0) . 对于?1 = 6, 解齐次方程组 得 f 的属于?2 = 6 的特征向量为 k(1, 1)T (k ? 0) . 3.3 仿射变换不动点特征向量 (2) f 的变积系数为 (3) 解法一: 待定系数法, 运用变换矩阵的性质4. 设所求的 f 的变换公式为 因为原点是不动点, 所以 由此得 d1 = d2 = 0 . 3.3 仿射变换不动点特征向量 * 上页 下页 结束 * 上页 下页 结束 §3 用坐标法研究仿射变换 3.1 仿射变换的变换公式 3.2 变换矩阵的性质 3.3 仿射变换的不动点和特征向量 3.4 保距变换的变换公式 定理 平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为 (4.3) 其中系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵. 反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵, 则 f 是仿射(点)变换. 3.1 仿射变换的变换公式 证明: 设 f 是仿射点变换, I: [O; e1, e2] 是平面 仿射坐标系, 平面上任一点P 在 I 中的坐标为 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为(x?, y?). 记 II: [ f(O); f(e1), f(e2)], 根据仿射变换基本定理, 它是仿射坐标系, 且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标 (x, y). 设 f(e1), f(e2), f(O) 在 I 中的坐