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事件： 是否发生 —— 随机性 发生的可能性是可以度量的 —— 规律性 问题：一次试验中，事件发生的可能性究 竟有多大？如何确定？ §1.2 概率的定义与性质 的频率，记作 。m 称为频数。 显然 一、概率的统计定义 频率：若事件 A 在 n 次重复试验中发生了m次， 则称比值 为事件A在 n 次重复试验中发生 例 掷一枚均匀硬币，设A={出现正面},考察 4040 2048 0.5069 试验者 总次数n 频数m 频率 2048 1061 0.518 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 30000 14994 0.4998 可见，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面 试验的次数 正面 /试验次数 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 0 25 50 75 100 125 的频率稳定在1/2左右。 概率的统计定义： 在大数次重复试验中频率的稳定值称为事件 的概率，记作P(A)。 对必然事件Ω, 上述例中， 对不可能事件 , 1、 古典概型 若随机试验满足： (1) 有限性 —— 基本事件的个数为有限个， (2) 等可能性 —— 每个基本事件发生的可 能性相等，即 称这种等可能模型为古典概型。 二、概率的古典定义 即 概率的古典定义： 在古典概型中，若基本事件总数为 n ,事件A 所含基本事件数为 ，则 也称为A的有利事件数。 显然有 P(A) = 事件A所包含的基本事件数 基本事件总数 【例1 】 掷一枚均匀骰子，设A={出现偶数点}。 试验1： 观察点数 试验2： 观察点数的奇偶性 注意: 随机试验不同，Ω也不同。求一个事件的 概率，可以在不同的Ω中进行，关键是基本事件总 数和有利事件数须在同一个Ω中计算。 Ω＝{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , A={2, 4, 6 } 【例2】从6个男人，9个女人中选出5个人组成 一委 员会，若选择是随机的，那么委员会正好由3个男人 【解】 设A={委员会正好由3男2女组成} 【例3】 把10本书随意地放在书架上，求其中指 定的5本书放在一起的概率。 【解】 设A={指定的5本书放在一起} 和2个女人组成的概率是多少？ 【例4 】 将三封信随机地投入四个邮筒中，求 下列事件的概率 A={指定的 三个邮筒中各有一信} B={任意的 三个邮筒中各有一信} C ={某个指定的邮筒是空的} 一般地，将n 个物品随机地放入N个容器中去， 求有关事件的概率，是古典概型中的一个典型问题 —— 分房问题。 【例5】 如果一手5 张扑克牌有连贯的点数但 不是同一花色，就称为一个顺子，求发到的一手牌 是顺子的概率。 【解】 设A={发到的一手牌是顺子} 发牌所有可能结果共有 种。 发到A、2、3、4、5(不管花色)的可能结果有 ， 去掉花色相同的4种，所以共有 －4 种。 故顺子总数 同样发到10、J 、Q 、K 、A的可能结果也有 －4 种。 为10( －4) 种。 2 、几何概型 A 若将事件“点落入区域A中”记为A, 则 由于 =1 从而 子区域，面积为 。现往Ω中随机地投点，若点落 设平面区域Ω的面积为 ，A为Ω 中任意一个 形状无关，则认为投点是等可能的。这类概率模型 入A中的可能性大小与 成正比，而与A的位置及 称为几何概型。 一般地，若试验的基本事件有无穷多个， 但是可用某种几何测度(如长度、面积、体 积)来表示其总和，设为S，并且其中的一部 分，即随机事件A所包含的基本事件数，也可 用同样的几何测度来表示，设为s ,则事件A的 概率定义如下： 几何概率 【例6】(会面问题)甲、乙两人约定7点到8点在某 地会面，并规定先到者应等候另一个20分钟，若超 过20分钟对方仍未到达就离去不再等候, 求两人能 会面的概率 ( 假定两人在7点到8点的任一时刻到达 预定地点是等可能的)。 【解】 设甲、乙两人分别于7点x 、 y 分到达， 则x , y 可取区间[0, 60]内的任一值，即 x y 60 60 20 20 而两人能会面的充要条件是 即 【