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二、空间两点间的距离 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 多元函数的连续性 例如，前面讨论过的函数 * 第八章 多元函数 1、空间解析几何简介 2、多元函数的概念 3、二元函数的极限与连续 4、偏导数 5、全微分 6、复合函数的微分法 7、隐函数的微分法 8、二重积分 O y轴(纵轴) z轴(竖轴) (坐标)原点 x轴(横轴) x 1 y 1 z 1 拇指方向 四指转向 右手规则 三个坐标系的正向 通常符合右手规则. 一、空间直角坐标系 坐标面： x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面， 另两个坐标面是 yOz 面、zOx面. 面 面 面 O z y x 第一卦限 卦 限： O z y x 第二卦限 卦 限： 第三卦限 O z y x 卦 限： O z y x 第四卦限 卦 限： O z y x 第五卦限 卦 限： O z y x 第六卦限 卦 限： O z y x 第七卦限 卦 限： O z y x 第八卦限 卦 限： 空间一点的坐标： O x y z P R x z y M Q 点M 记为M(x，y，z)． 设 为空间两点, 在直角 及直角 中 , 由勾股定理有: 求 所以 之间的距离为 解 由距离公式，得 例1 求 之间的距离 三、曲面与方程 定义8.1 如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程 ，而不在 上的点都不满足方程 ，那么方程 称为曲面 的方程，而曲面 称为方程 的图形。 定义8.1 如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程 ，而不在 上的点都不满足方程 ，那么方程 称为曲面 的方程，而曲面 称为方程 的图形。 例1 一动点 与两定点 的距离相等，求此动点的轨迹方程。 例2 求三个坐标平面的方程。 例3 作 （ 为常数） 的图形。 例4 求球心为点 ，半径为 的球面方程。 例5 作 的图形----圆柱面。 例6 作 的图形-----旋转抛物面。 例7 作 的图形-----双曲抛物面（或马鞍面）。见下图 柱面举例 抛物柱面 平面 曲面与坐标面的交线： 抛物线 双曲线 方程 ——双曲抛物面（马鞍面） 8.2多元函数概念 也可记为 多元函数的定义域： 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 在二元函数中，我们用平面上 与 两点间的距离 来定义点 的 邻域，即由集合 所确定的平面上的开圆域，因此可以定义二元函数的极限。 来定义点 的 邻域，即由集合 定义8.3 若 ， ，使当 时，恒有 成立，则称当 趋于 ，函数 以 为极限。 记作 或 注意：这里说的当 趋于 时， 以 为极限，是指 以任何方式趋于 时， 都趋于 。因为平面上由一点到另一点有无数条路 线，因此二元函数的极限要比一元函数的复杂得多。 8.3 二元函数的极限与连续 证 当 时， 例1 设 求证： 例2 讨论函数 在(0,0)的极限． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 例3 求极限 解 其中 *