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线性代数 主讲 高健 §1.1 n阶行列式的定义 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆（Cramer）法则 [注] 1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2) 阶行列式是 项的代数和; 3) 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4) 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5) 项 的符号为 * * 同学们好! 第二章、矩阵 第一章、行列式 第三章、线性方程组 第一章、行列式 用消元法解二元线性方程组 §1.1 n阶行列式 一、二（三）阶行列式 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 三阶行列式 (1)沙路法 三阶行列式的计算 (2)对角线法则 说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2.行列式包括3!项,每一项都是位于不同 行,不同列的三个元素的乘积,其中三项 为正,三项为负. 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则方程组（2）有唯一解， 若记 或 则三元线性方程组的解为: 例 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 二、排列及其逆序数 1.概念 定义1 由1，2，…，n 个不同的数码排成的 有序数组，称为n 阶排列。 如：123；213；132；231；312；321均 为三阶排列。 n阶排列共有n！个。 例如 排列32514 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 2.排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义2 在一个排列 中，若数 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序 数.记为 则称这两个数码构成一个逆序.一个 例1 求排列32514的逆序数 [注] 计算排列逆序数的方法 方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大 的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆 序数，则每个元素的逆序数之总和即为所求排 列的逆序数. 3 2 5 1 4 1 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3.排列的奇偶性 例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们奇偶性. 解 此排列为偶排列. 三、对换 定义3 在一个n阶排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 1.对换的定义 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性. 证明 设排列为 （a，b） 除 外，其它元素的逆序数不改变. 2.对换与排列的奇偶性的关系 经对换后逆序数增加1, 当 时， 当 时， 经对换后的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 定理2 证明： 1. 二（三）阶行列式的特点 说明 1）二(三)阶行列式共有2(6)项，即2!(3!)项; 2）每项都是位于不同行不同列的二(三)个元素的乘积; 三、n阶行列式的定义 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的二（三）个元素的下标排列． 定义4 2. n阶行列式的定义