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* * 第一章 行列式 行列式是什么? 行列式是一类特殊排列的四则运算表达式,结果是一个数. 行列式有什么用? 有助于简化求解线性方程组的过程和解的表示;也是后面学习矩阵和向量组的重要工具. 本章主要要求: 掌握行列式的定义 掌握求行列式的基本方法与技巧 它的外形是用两条竖线控制的正方形数表. 第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质 第三节 按行(列)展开 第四节 Cramer法则 内 容: 第一节 行列式的定义 1、二阶行列式 2、三阶行列式 3、排列与逆序 4、n阶行列式定义 用消元法解二元线性方程组 1 二阶行列式 方程组的解为 1. 分母仅依赖于方程组的系数. 观察解表示中的规律 2. 分子分母的表达很相似. 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 按照二阶行列式的定义,二元线性方程组的解可表 示成： 例1.1 解 定义1.2 记 (5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式. 2 三阶行列式 列标 行标 (1)沙路法 三阶行列式的计算 (2)对角线法则 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号． 注 1. 三阶行列式共3!项,每项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中正负各三项. 2. 类似二元线性方程组, 对三元线性方程组 若记 且行列式 则方程组有唯一解 例1.2 解 按对角线法则, 有 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 由n个不同的自然数排成的元素不重复且有确定次序的每一列, 均称为这n个自然数的一个全排列或n级排列. 定义1.3 3 排列与逆序 定义1.4 例如 排列32514 中, 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 一个排列中 所有逆序的总数称为此排列的逆序数, 定义1.5 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法2 例如 排列32514中, 3 2 5 1 4 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 1 逆序数为3 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义1.6 例1.3 计算排列 的逆序数. 解 解 为偶排列； 为奇排列. 4 n阶行列式的定义 (1)三阶行列式共有 项, 即 项． (2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 偶排列 列标排列的逆序数为 奇排列 定义1.7