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第二节 逆矩阵（25p) 一、逆矩阵的定义 一、逆矩阵的定义 六、小结 思考题 二、逆矩阵存在的条件及求法 三、利用逆矩阵求解方程组 四、逆矩阵的性质 五、正交矩阵 六、小结 则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的单位1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵B , 使得 (想想为什么要考虑AB及BA?) 定义 1 (1) 对于方阵A ,若存在同阶方阵B ,使 则称B为A的逆阵. 这时,A称为可逆阵(也称非奇异阵) 否则称A为不可逆阵(也称奇异阵). 定理 1 如果A有逆阵,则其逆阵是唯一的. 证: 设B 和 C 都是A的逆阵, 则有 证毕. 因为逆阵是唯一的,故将A的逆阵记为 定理2 方阵 可逆的充要条件是 ，　　　　　　 二、逆矩阵存在的条件及求法 它是 的各元素的 代数余子式所构成的如下方阵. 且　　　　　　 (2) 其中 为方阵A的伴随矩阵. 证: 若 可逆， 先证必要性 由方阵行列式的性质有: 再证充分性 利用矩阵乘法及行列式性质,得到 则存在 使 按逆矩阵的定义得 证毕. 注意: 由证明过程可见: (1)若A可逆, 则 (2)不论A是否可逆, 总是成立; (3)若A为n 阶方阵,则有 解: 例1 口诀: “两调一除” 主对角线的元素对调位置, 副对角线的元素位置不动符号调换(正改负, 负改正) 所有元素除以行列式的值. 注意:此口诀只适用于二阶方阵求逆. 例2 故 设三阶方阵A的伴随矩阵为 且 求 解: 由 得 且 三、利用逆阵求解方程组 对于方程组 若记 则该方程组可写成矩阵方程的形式 当A可逆,即|A|≠0时, 上式两端同时左乘 得 (3) 此式展开即为克莱姆法则. 例3 解方程组 解: 所给方程组可写成矩阵方程的形式 经计算知矩阵 可逆,且其逆阵为 故所给方程组的解为 即 性质1 四、逆矩阵的性质 若 AB = I 或 BA = I , 则 证: 若 AB = I , 由|AB|=|A||B|=|I|=1, 必有 |A|≠0. 根据定理2知, 存在, 在 AB = I 两端左乘 得 B = 同理可证, 若 BA = I , 则 B = 证毕. 性质1表明逆阵定义中的两个等式只要有一个成立, B即为A的逆阵. 从而可简化计算. 证: 由 得 例4 若n 阶方阵A 满足方程 试证明A 可逆,并求其逆阵. 即 由性质1知A可逆, 且 性质2 若A为可逆阵, 则 (k为任一非零常数), 及 也都可逆, 且 存在. 由性质1知只需分别验证 证: 因A可逆, 故 而以上三式显然成立. 即可, 证毕. 性质3 若A,B为可逆阵, 则AB也可逆, 证: 故 存在. 且 因A,B可逆, 证毕. 而 例5 设 解 于是 五、正交矩阵 定义2 n阶实方阵 若满足 则称A为正交矩阵. 如 都是正交矩阵. 正交矩阵的性质 则 若 则AB也是正交矩阵. (1) 若A正交矩阵, 则 则A为正交矩阵, (2) 若A正交矩阵, 也是正交矩阵; (3) 若A、B为同阶正交矩阵, (4) 设A为n阶实方阵, 且 证: 先证(1) 因A为正交矩阵, 故 由方阵行列式的性质有 即 所以