-高斯定理.pptVIP

例题6 求电荷呈无限长圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为?。 高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形闭合面,高为l,半径为r。 荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。 由高斯定理知 解： l （1）当rR 时，高斯面内电荷量为 矢量式为 l r （2）当rR 时， 均匀带电圆柱面的电场分布 E?r 关系曲线 R E r 0 矢量式为 * （1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远)； （2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断； （3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。 一、电场线(electric line of field) 1定义： 电场线上各点的切线方向与该点场强的方向一致； 在垂直于电场线的单位面积 上穿过的曲线条数与该处的电场强度的大小成正比。 2 性质： §10-3 高斯定理 1.定义 二、电场强度通量(electric flucx) 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这 一面积元的电场强度通量。（简称电通量） 如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的电场线条数为d?e，那么 S E 若选择比例系数为1，则有d?e = E d S . 如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电场强度E 相垂直，则 ?e = E S . 如果在场强为E的匀强电场中，平面S与场强E不垂直，其法线n与场强E成? 角。 如果在非匀强电场中有一任意曲面S，可以把曲面S分成许多小面元dS，dS可近似地看为平面，在dS范围内场强E 可认为处处相同。这样，穿过面元dS的电场线条数可以表示为 n E θ s 通过任一曲面S 的电通量： 2.方向的规定： 闭合曲面的外法线方向为正。 (自内向外为正) 非闭合曲面电通量的正负取决于E与n正向夹角的余弦值。 通过闭合曲面S 的电通量： s1 s2 s3 s4 s5 θ E n x y z 例1：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C ,沿x方向，求通过此三棱柱体的电场强度通量。 解：三棱柱体的表面为一闭合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 构成，其电场强度通量为： 即：通过闭合曲面的电场强度通量为零。 三、高斯定理 真空中的高斯定理： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/?0倍。 表示高斯面内电荷的代数和。 高斯定理（Gauss theorem） 静电场中任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲面所包围的电量除以e 0 而与S以外的电荷无关。 数学表达式 证明：1. 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 S 此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力线总条数相等。从 q 发出的电场线连续的延伸到无穷远。 2.证明包围点电荷q 任意闭合曲面S 的电通量 S1 S2 S 穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q /? 0 ，即 3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1,q2,…,qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通量可以表示为 这表示，闭合曲面S 的电通量，等于各个点电荷对曲面S 的电通量的代数和。可见电通量也满足叠加原理。根据以上结论，通过闭合曲面S的电通量应为 4. 任意闭合曲面S不包围电荷，点电荷q 处于 S之外：如图所示，由于从q 发出的电场线，凡是穿入S 面的，必定又从S面穿出，所以穿过S 面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。 5. 多个点电荷q1,q2,…,qn，其中k个被任意闭合曲面S所包围，另外n?k个处于S面之外： 根据上一条的证明，闭合曲面S外的n?k个电荷对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其内部的k个电荷，并应表示为 6. 任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体 这时可以把带电体划分成很多很小的体元d?，体元所带的电荷dq =? d?可看作点电荷，与上面 第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为 根据矢量分析，可以将式高斯定理写成下面的微分形式 在静电学中，常常利用高斯定理来求解电荷分布具有一定对称性的电场问题。 高斯定理的应用 高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。 高斯定理计算场强的条件： 带电体的电场强度分布要具有高度的对称性。 ⑴ 高斯面上的电场强度大小处处相等； ⑵ 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方向一致。 用高斯定理计算电场强度的步骤： （1） 从电荷分布的对称性来分析电场强度的对称性，判定电场强度的方向。 （2）根据电场强度的对称性特点，作相应的高斯