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南昌大学基础数学 南昌大学基础数学 4.3 协方差和相关系数 一、协方差 二、相关系数 一、协方差 协方差的性质: 二、相关系数 * * 对于随机变量(X,Y)而言: E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的 平均值 D(X)、D(Y)反映分量X、Y各自的 平均偏离程度 并未反映X、Y之间的相互关系 定义: 称E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}为X与Y 的 协方差,记为Cov(X,Y) ,即 Cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 若X取值比较大(XE(X)),Y也较大 (YE(Y)) 若X取值比较小(XE(X)),Y也较小 (YE(Y)) 若X取值较小,Y取值较大或若X取 值较大,Y取值较小 ,这时Cov(X,Y)0 ,这时Cov(X,Y)0 ,则Cov(X,Y)0 协方差可了解两个变量之间变化 的关系(变化趋势在平均意义上而言): 正的协方差表示两个随机变量倾 向于同时取较大值或同时取较小值,负 的协方差反映两个随机变量有相反方 向变化的趋势 Cov(X,Y) 连续型随机变量的协方差: Cov(X,Y) 离散型随机变量的协方差: 1. Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y) 2. Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 3. Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y) 其中a1,a2,b1,b2为常数 4. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 5. Cov(X, Y)=E(XY)?E(X)E(Y) 若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0 还可推得: D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y) 6. [Cov(X, Y)]2≤D(X)D(Y) 定义: 若D(X)0,D(Y)0,则称 为X,Y的相关系数或标准协方差,记为 ?XY ,即 关于?XY的符号: 当 ?XY 0时,称X与Y为正相关. 当 ?XY 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. 相关系数的性质： 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) 令 ，则上式为 D(Y- bX)= 由方差D(Y)是正的,故必有 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 当且仅当X与Y之间有线性关系时, 等号成立 即 |?|=1??a,b,使P{Y=aX+b}=1 说明: ?XY刻划X,Y之间的线性相关程度 |?XY|?1,则X,Y越接近线性关系 |?XY|=1,则X,Y存在线性关系 当?XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没 有线性关系 2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 = 0 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. 证明: 例 1 设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,证明: ?XY =0。 * *