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第五章 积分 §5.1 定积分的概念 定积分问题的产生 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分存在的条件 a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、定积分问题的产生 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3) 求和. 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 实例2 .变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数,且v(t)?0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1?t0t1t2 ??? tn?1tn?T2, Dti?ti?ti?1; (2)近似: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为 DSi?v(?i)Dti ( ti?1? iti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记??max{Dt1, Dt2,???, Dtn}, 物体所经过的路程为 二、定积分的定义 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 三、定积分的几何意义 四、定积分存在条件 定理1(可积的必要条件) 定理2(定积分存在定理) 例1 利用定义计算定积分 解 根据定积分的几何意义及性质，计算 例 2