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一、近似计算( 仅讲例1,3,5) 例3. 利用 例5. 计算积分 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 定理3 (收敛定理, 展开定理) 例1. 说明: 例2. 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 例3. 将函数 说明: 三、正弦级数和余弦级数 例4. 设 例5. 将周期函数 2. 在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例6. 将函数 再求余弦级数. 内容小结 思考与练习 2. 备用题 1. 2. 设 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 目录 上页 下页 结束 注意: 在端点 x = 0, ? , 级数的和为0 , 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 目录 上页 下页 结束 将 则有 作偶周期延拓 , 目录 上页 下页 结束 说明: 令 x = 0 可得 即 目录 上页 下页 结束 1. 周期为 2? 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 目录 上页 下页 结束 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 1. 在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处收敛于 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 目录 上页 下页 结束 叶级数展式为 则其中系 提示: 利用“偶倍奇零” (93 考研) 的傅里 目录 上页 下页 结束 * 欧拉 (1707 – 1783) 瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 分学原理 》, 《积分学原理》等, 为分析学的重 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. 目录 上页 下页 结束 目录 上页 下页 结束 幂级数的应用十分广泛，例如可用于近似计算，表示非初等函数，解微分方程等。前面我们看到，幂级数的一般项形式简单，便于进行微分、积分运算，将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。 第五节 函数幂级数展开式的应用 第十一章 一、近似计算 二、欧拉公式 本节介绍： 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 目录 上页 下页 结束 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 (弧度) 误差不超过 的近似值 , 并估计 目录 上页 下页 结束 的近似值, 精确到 解: 由于 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 上连续, 且有幂级数展开式 : 目录 上页 下页 结束 则称 ① 收敛 , 且其和为 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ① 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 目录 上页 下页 结束 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 当 x = 0 时, 的幂级数展式一致. 目录 上页 下页 结束 （欧拉公式） （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 目录 上页 下页 结束 据此可得 (德莫弗公式) 利用幂级数的乘法, 不难验证 特别有 目录 上页 下页 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 第七节 傅里叶级数 目录 上页 下页 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 目录 上页 下页 结束 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即