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第十、十一章 一、知识点与考点精讲 ②如果积分区域D关于y轴左右对称, 3.重积分的计算法 特别地: 若积分区域 D 的图形为: (2) 三重积分 若积分区域?为柱体, 2.性质: 此外, 若曲线L: (三) 对坐标的曲线积分(第二型曲线积分) 3.计算法. 若曲线L: 4.两类曲线积分的联系 6.曲线积分与路径无关的条件 7.对坐标的曲线积分的计算流程图: (四)对面积的曲面积分(第一型曲面积分) 性质8. 3.计算法 3.计算法 (3)要计算 其中 二、典型例题分析与解答 例2. 例3. 题型(二) 三重积分 例3. 题型(三)对弧长的曲线积分 例2 . 例4. 由 题型(五) 对面积的曲面积分 对于选项(C), 例2. 题型(六)对坐标的曲面积分 例2. 例3. 例4. 例5. 设区域 D为: 则 解: 由于对称性 则有 极坐标 注释: 本题考查二重积分对称性的应用和在极坐标下的计算. 例4. 解: 设区域 计算二重积分 画积分区域图形. 注释: 本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分. 其中 极坐标 (由于对称性) 设有空间区域 及 例1. 解: C 对于选项(A), 则有( ). 由于被积函数 f (x,y,z)= x关于x是奇函 数, 积分区域 关于yoz坐标面前后对称, 则有 故选项(A)错误. 同样选项(B)与(D)也错误. 对于选项(C), 由于被积函数 f (x,y,z)=z关于x与y都是偶函数, 积分区域 关于yoz和xoz坐标面都对称, 故有 选项(C)正确. 所围成的区域. 画积分区域?的图形. 例2. 计算三重积分 其中?是由曲面 解: 其中 (利用对称性) 球面坐标 (若用“先二后一法”反而麻烦) 求 解: 其中?是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4所围成的立体. 旋转曲面的方程为: 画积分区域?的图形. 柱面坐标 注释: 本题考查利用柱面坐标计算三重积分. 设平面曲线 L 为下半圆周 则曲线积分 解法1: 由于下半圆周上的点 (x , y) 也满足 则有 应填 例1. 注释: 本题考查对弧长曲线积分的计算法. 下半圆周 的参数方程为 解法2: 则有: 显然解法1优于解法2. 解: 设 L 是椭圆 其周长为a , 椭圆L 的方程可改写为 则 则有 由于xy是x的奇函数, 曲线 L关于y轴对称, 则有 注释: 本题考查对弧长曲线积分的计算法与解题技巧. 又由于 所以 题型(四) 对坐标的曲线积分 设L为取正向的圆周 例1. 则曲线积分 解: 原式 的值是_____. 应填 注释: 本题考查格林公式的应用. 格林公式 例2. 设 L为正向圆周 在第一象限中的部分, 则曲线积分 的值为_______. 解: 圆周 的参数方程为: 起点参数为 终点参数为 则有 注释: 本题考查对坐标的曲线的计算. L为从点A(2a,0)沿曲线 求 其中a,b为正的常数, 例3. 到点O(0,0)的弧. 解: 画积分路径 L 的图形. 原式= 格林公式 注释: 本题考查对坐标的曲线的计算. 在变力 的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面 问当? ,? ,? 取何值时, 并求出W的最大值. 以下求在条件 上 第一卦限点 M(? , ? , ? ) , 力 所作的功W最大? 解: 的约束下, W = ??? 的最大值. 令 得 从而 即得 由实际问题知 于是得 考查变力沿曲线作功的 本题是一道综合题, 注释: 计算和条件极值. 部分, 例1. 设S: 为S在第一卦限的 解: 则有( ) . 对选项(A), 由于 f (x ,y ,z ) = x 关于x 是奇函数, 曲面S 所以有 故选项(A)错误. 同理选项(B)(D)也错误. 关于yoz坐标面对称, C 即有 故选项(C)正确. 注释: 本题考查被积函数奇偶性和积分区域对称性 在对面积的曲面积分中的应用. 所以有 由于 f (x ,y ,z ) = z 关于x 和y都是偶函数, 所以有 曲面S关于yoz和xoz坐标面对称, 又在曲面 上, x , y , z 具有轮换对称性, 解: 内的部分. 则有 有: 计算曲面积分 其中?为锥面 在柱体 锥面?在xoy坐标面的投影区域记为: 极坐标 对锥面? : 注释: 本题考查对面积的曲面积分的计算. 例1. 的外侧, 解: 计算曲面积分 设S为曲面 注释: 本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分. 由高斯公式知 (其中?: 本题常出现的错误是把三重积分 的被积函数 用1代换. 计算 其中?是由曲面 所围立体 表面的内侧. 解: 积分区域为封闭曲面并取内侧, 由高斯公式得: 球面坐标 原式= 注释: 本题考查高斯公式的应用. * 高等数学考前