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1.2 正项级数的审敛准则 定理1.3 (比较审敛法I) 推论 例1. 定理1.4 (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 例1.6 讨论下列级数的敛散性 .  定理1.5(积分判别法） 例1.8 例1.9 定理1.6 比值审敛法(D’Ａlembert(达朗贝尔)判别法) (2)当 例5. 讨论级数 定理1.7 根值审敛法(Cauchy判别法) 说明 : 例1.10 用适当方法判定下列正项级数的敛散性. 1.3 变号级数的审敛准则 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 例1.11 研究级数 绝对收敛与条件收敛 定理1.9 若级数 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 例1.12 讨论级数的敛散性,若收敛,是否绝对收敛? 绝对收敛级数的性质 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. THE END 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . * 目录 上页 下页 返回 结束 第一节(2) 常数项级数的审敛法 若 定理 1.2 正项级数 收敛 部分和数列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 特点:部分和单调增. 设 并且 (1) 若 则 (2) 若 则 证: 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示两个级数的部分和． 是两个正项级数, 证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同. 由于(2)是(1)的逆否命题，因此只证明(1)即可. 根据定理1.2, 级数 必收敛. 注:根据性质1.2, 定理1.3中的条件“ ” 因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性． 可以改为“ ” ． 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 注: un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 的敛散性. ～ 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ (1) (2) 例1.7 判别级数的敛散性． 思路：找出另一个级数与之作比较． 找出与级数的通项的同阶无穷小量， 寻找另一个级数 的关键，在于寻找同阶，低阶，高阶无穷小量． 就是找到比较 的级数了. 时的无穷小量. 解: 显然，该级数的通项an是 所以，它与 例1.7 判别级数 的敛散性． 为了分析它的阶数，利用ln(1+x) 在 x=0 处的二阶 Taylor 公式： 是同阶无穷小 而级数 故原级数收敛． 函数 则级数 与无穷积分 注:定理1.5中的无穷积分的积分区间 可换成 其中N是任意的正整数. 解 无论是比较准则还是积分准则,在使用的时候都必须借助 解 于敛散性已知的级数或反常积分,因此很不方便.下面两种 审敛准则,却是利用级数自身的条件来判断级数敛散性的. 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 的敛散性 . 解: 根据定理1.6可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; 设 为正项 则 级数, 且 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 检比法 与检根法. . 解 (1) 用检比法. 由于 故该级数收敛. (2) 用检根法. 由于 故该级数发散. (3) 用比较准则II. 由于 (4) 比较准则I. 由于 注:级数敛散性的审敛准则共有5个,都是充分条件.