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第一章 n 阶行列式 n 阶行列式的概念和方法 —— 定义、性质、计算方法； n 阶行列式的应用 ——求解特殊 n 元方程组的克拉默法则 §1 二阶、三阶行列式 P.3 例2 §2 全排列及其逆序数 一. 全排列 例3 (P5例4 ) 补例 求全排列 1 3 5 · · · (2n-1) 2 4 · · · (2n) 逆序数. 解 1, 3, 5, · · ·, (2n-1) 不对应逆序; 2 前面有n –1 个数比它大, 故对应n –1 个逆序; 4 前面有n –2 个数比它大, 故对应n –2 个逆序; 依次下去, 2n –2前面有1 个数比它大, 故对应1个逆序 2n 前面没有数比它大, 故不对应逆序, 将所有元素对应的逆序数相加, 得逆序数: (n - 1)+(n - 2)+ ··· +2+1 = n(n -1)/ 2 §4 对换 在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到一个新排列， 一般的，p6定义 用定义计算行列式 （特殊的） 例6 (P7 ) * * * * 线性代数 山东师范大学数学科学学院 大学数学教学部 课程简介 是高等数学的一个重要分支； 已成为近代、现代数学、乃至现代科学的一个基础性的、重要的工具。 产生于17世纪，18世纪初成体系，19世纪走向成熟； 1.研究的内容和方法： 研究离散型变量的线性问题（线性方程组，线性变换,线性性质等）. 行列式、矩阵、向量组的线性相关性等. 产生的概念、方法： 概念抽象度高；运算注重形式化；推理逻辑分析性强，应用广泛。. 2.本课程的特点： 可以强化数学思维能力、数学应用能力培养. 直观形象差，概念、符号、法则多，理解、训练有一定困难. 3.学习方法： 认真读书，抓基本概念、基本方法的理解和掌握，记忆符号。 大家在同一条起 跑 线 上 ！！ 理清知识脉络，构建知识结构体系，系统全面掌握； 认真做好每一个练习题. Vandermonde是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人 Leibniz在十七世纪末就发现了行列式 行列式 ——重要的数学工具和概念之一。来源于解线性方程组 麦克劳林，克莱姆，范德蒙等都对行列式理论方法做出贡献； 范德蒙(Vandermonde, Alexandre Theophile法国数学家,1735～1796) 范德蒙1735年生于巴黎。1771年成为巴黎科学院院士。1796年1月1日逝世。 范德蒙在高等代数方面有重要贡献。 他不仅把行列式应用于解线性方程组， 而且对行列式理论本身进行了开创性研究, 是行列式理论的奠基者。 ↘ ↗ - 主对角线 次对角线 ? 0 二阶行列式 = P.2 例1 求解二元线性方程组 解 完全类似, 三元一次方程组的解也有相同的表示. P.3 例3 = -4 -6 +32 -24 -8 -4 = -14 . 求解方 程 左端 得: 三阶行列式的概念 解 数 代数式 对四阶及四阶以上行列式 没有相应的对角线法!!! 必须另从二、三阶行列式的表达式中 寻找规律, 以抽象出n阶行列式的概念（！，？）. - - - - - - - - - - - - - - - - 如 等均为 8 个元素的全排列 = ? 8！ 二. 逆序与逆序数 规定从小到大的顺序为标准顺序. 则称123 ··· n为标准排列. 在任一排列中, 若某两个元素的顺序与标准顺序不同,就称这 两个元素构成了一个逆序. 213中, 2与1就构成了一个逆序. 321中, 3与2, 3与1, 2与1都构成逆序 在一个排列中, 逆序的总个数称为 该排列的逆序数.记做：t( P1P2 …Pn ) n 个不同的元素排成一列,称为 n 个元素的全排列. 简称排列. 怎样求??? 把自然数1,2,3,…,n 按任意顺序排成的有序数组叫做一个n 级(元)全排列.简称排列.记做：P1P2 …Pn 所有n元全排列的种数 Pn = ？个 n！ 用自然数1,2,3,…,n 代表n个不同的元素，则全排列的定义可为: 求排列 32514 的逆序数. 解 在排列 32514中， 第一个数是 3 ， 对应的 逆序数为 0 ;