nei曲线的凹凸与拐点性.pptVIP

例4. 判断曲线 课堂练习 单调性与凹凸性的内容小结 **例5 例9. 求曲线 思考题 思考题解答 例 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 成立 , 则称曲线 在区间 I 上是凸的 ; 成立 , 则称曲线 在区间 I 上是凹的 . .**补充:曲线凹凸性的分析定义 如下图: 凸 凹 曲线的凹凸和坐标点的关系 解 *求拐点方法二 例9 解 是使 的点, 是曲线凹凸性 的分界点. 例5 解 为判断 的正负,先计算 得 或 备用题 例6 解 是使得 不存在的点 * jinan University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 第四章 如果只给出已知一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? ? ! . . 单调递增 单调递减 拐点 拐点 在研究函数图象的变化状况时，仅了解单调性还不能完全反映它的变化规律．如图1，虽然函数的图象始终是上升的，但却有不同的弯曲状况．从左向右，曲线先向上弯曲，通过点后改变了弯曲方向，变为向下弯曲．而在图2中,虽然函数的图象始终是下降的，但同样有着不同的弯曲状况．因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的. §3.6 利用导数研究函数 一、函数的凹凸向与拐点 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 （或切线）的“上方”或“下方”的问题 . 这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 . 定义4.2 (P171) 若在某区间(a ，b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在(a ，b)内是向上凹的(简称上凹，也称凹的)；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a ，b)内是向下凹的(简称下凹，也称凸的)· 凸 凹 一、函数的凹凸向的定义 简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方(在切线的 “下方”)时, 称之为凸的（下凹 ） ; 曲线弧段位于相应的弦线下方(切线“上方” )时, 称之为凹的（上凹）. 凸 凹 1. 回忆.函数y=f(x)单调性的判定 K切 =f (x)0 y单调递增 凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. K切 =f (x)0 y单调递减 x0 y0 p x0 y0 y=f(x) p x y y x o o 2.凹凸型弧段的几何特征I y=f(x) 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点. x y o θ 1 θ 2 θ 3 a b x y o θ 1 θ 2 θ 3 a b 上凹型曲线:切线的斜率随着x的增大而增大. 下凹型曲线:切线的斜率随着x的增大而减小. ? ? ? ? ? ? x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 凹型 凸型 凹凸型弧段的几何特征Ⅱ 曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′ 的单调性来判定. 即y=f(x)的凹凸性与f″ 的符号有关. (x) (x) 3.结论: （2）如果 ∈ 时，恒有 ，则曲线 定理4.7(P172) 内为下凹的(凸) 。 在 （1）如果 恒有 ∈ 时, ,则曲线 设函数 在区间 内具有二阶导数 内为上凹的； 在 记 4、曲线凹凸的判定 由拉氏中值定理可得 两式相减，可得 x O x1 x2 x0 **证 同理可证得图形是凸的 定理4.7 1、什么是曲线的拐点 定义4.3(P172) 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,因此拐点必在曲线上. 图 二、函数的拐点 连续曲线上凸弧与凹弧的分界点 , 称为曲线的拐点. x y o a b 2.曲线上拐点的几何特征 凹型 凸型 ? 曲线凹凸区间及拐点的求法 4.曲线凹凸及拐点的判定步骤： ②求出 ，找出在(a，b)内使 =0的点和 不存在的点； ③用上述各点按照从小到大依次将(a，b)分成小区间，再在每个小区间上考察 的符号； ①确定定义域 ④用理4.7(P172)判断得凹凸结论 记 ⑤若 在某点 两侧近旁异号，则 是曲线 的拐点，否则不是。 注:拐点和凹凸区间通常是同时考虑 例1，2（P173） 的凹凸性并求拐点. 解: 不存在 点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 当 不存在,但当 时 当 时 故曲线 上是向上凹的. 在 上是凸的. 在 ( 在点0两侧近旁异号)