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第二章 随机向量 §2.1 一元分布 §2.2 多元分布 §2.3 数字特征 §2.4 欧氏距离和马氏距离 §2.5 随机向量的变换 *§2.6 特征函数 §2.2 多元分布 一、多元概率分布 二、两个常用的离散型多元分布 三、多元概率密度 四、边缘分布 五、条件分布 六、独立性 一、多元概率分布 随机变量 的分布函数： 随机向量 的分布函数： 三、多元概率密度 一元的情形： 多元的情形： 四、边缘分布 设 是 维随机向量，由它的 个分量组成的向量 的分布称为 的关于 的边缘分布。 不妨设 ，则对连续型的分布，有 五、条件分布 设 是连续型的随机向量，在给 定 的条件下， 的条件密度定义为 六、独立性 两个连续型随机向量的独立 个连续型随机向量的独立 在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，则认为它们之间是相互独立的。 §2.3 数字特征 一、数学期望(均值) 二、协方差矩阵 三、相关矩阵 *四、广义方差 一、数学期望(均值) 随机向量 的数学期望 随机矩阵 的数学期望 二、协方差矩阵 协方差 若 ，则称 和 不相关。 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的随机变量未必独立。 当 时，协方差即为方差，也就是 二、协方差矩阵 和 的协方差矩阵定义为 二、协方差矩阵 和 的协方差矩阵与 和 的协差阵互为转置关系，即有 若 ，则称 和 不相关。 两个独立的随机向量必然不相关，但两个不相关的随机向量未必独立。 时的协差阵 称为 的协差阵，记作 ，即 二、协方差矩阵 亦记作 ，其中 。 二、协方差矩阵 协差阵 既包含了 各分量的方差，也包含了每两个分量之间的协方差。显然， 是一个对称矩阵。 例2.3.1：随机向量一分为二后，其协差阵分为四块： 其中，对角线块为子向量的协差阵，非对角线块为两个子向量之间的协差阵。 协差阵的性质 （1）协差阵是非负定阵，即 。 若 ，则 。 （2）设 为常数矩阵， 为常数向量，则 当 时，上述等式就是我们熟知的如下等式： 例2.3.2 的分量之间存在线性关系（以概率1）。 在实际问题中，有时 ，其原因是指标之间存在着线性关系，如某一指标是其他一些指标的汇总值，这在一般数据报表中是常出现的。我们通常可以通过删去“多余”指标的办法来确保 。因此，我们总假定 并不失一般性，这样可保证 存在，从而可使数学问题得以简化。 协差阵的性质 （3）设 和 为常数矩阵，则 （4）设 和 为常数矩阵，则 （5）设 是 个常数， 是 个相互独立的 维随机向量，则 三、相关矩阵 和 的相关阵定义为 三、相关矩阵 若 ，则表明 和 不相关。 时的相关阵 称为 的相关阵，记作 ，这里 。 和 之间有关系式： 其中