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证明: 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 思考题: 求第一行各元素的代数 余子式之和 解答: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 三、思考与练习 线性代数 安徽工业大学数理学院 杨辉 教材 《线性代数》 主要教学参考书 华中科技大学大学编 高等教育教育出版社 国内有关经典教材 1.《线性代数》 同济大学著 高等教育出版社 1999 年版 2.《线性代数》 解国瑞著 高等教育出版社 1998年版 国外有关经典著作 1.《Linear Algebra》 P.- S.拉普拉斯著 2001年版 第1.1节 行列式的定义 主要内容: 一、二阶与三阶行列式 二、n阶行列式的定义 三、思考与练习 问题的提出： 求解二、三元线性方程组 二阶、三阶行列式 引出 引出 n 阶行列式 一、二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组： 由消元法，得 得 同理，得 于是，当 时，方程组有唯一解. 为便于记忆，引进记号 称记号 为二阶行列式. 其中 ，数 称为元素 为行标，表明元素位于第 行 为列标，表明元素位于第 列 注: (1) 二阶行列式 算出来是一个数或代数式。 (2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积. 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 综上，令 则， 称 D 为方程组的系数行列式。 例1： 解方程组 解： 因为 所以 2. 三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组 引进记号 称之为三阶行列式. 其中 ，数 称为元素 为行标， 为列标。 (1)沙路法 三阶行列式的计算: .列标 行标 (2)对角线法则 注意 : 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号． 说明: 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负. 例： 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组: 可以验证，方程组有唯一解， 其中， 例2: 解: 方程左端 解得 由 例3: 解线性方程组 解: 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 二、n阶行列式的定义 由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinant of order n) 行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于已经出现在十八世纪著作中的行列式的． 把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的.（两个竖条线是Cayley（凯莱）在１８４ １引进的）． 定义 由n阶阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1 行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即: 称为元素 的余子式, 称为元素 的代数余子式. n阶行列式的定义 定义1.1 注：上式归纳地定义了任意n阶行列式的值. 注意:　在n阶行列式展开式中 (1) 共有n!项; (2) 每项由来自不同行不同列的n个元素相 乘而得到; (3) 展开式中正负号各一半，即各n!/2项; (4) 例4: 计算上三角行列式(upper triangular determinant) 分析 这是一个n阶行列式，但它的第一列除 所以利用定义展开时只有一项不为零，于是 解: 都是零， 例5: 定理1.1 设D是n阶行列式，则对任意　　　　　　 同理可得下三角行列式(lower triangular determinant) 例6: 证明对角行列式(diagonal determinant)