二重积分的计算-下.pptVIP

*/26 微积分九③ 积分区域如图, 可化为: Calculation of double integral 微 积 分 电 子 教 案 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的应用 （一）极坐标系 直角坐标系的建立,是用两组坐标线构造网络 极坐标系的建立,是用一组同心圆,一组射线构造网络 O——极点 Or——极轴 q ——极角 r——极径 1、极坐标系的建立 2、极坐标与直角坐标的关系： x=rcosq y=rsinq ①从(x,y)到(r,q)变换公式为: r2=x2+y2 ②从(r,q )到(x,y)变换公式为: θ r (r,q ) x y P(x,y) . x y O 3、平面曲线的极坐标表示法 圆的方程 ① x2+y2 =a2(a是常数)即 ②x2+y2 =2ax 即 圆心(a,0), 半径a 圆心(0,0), 半径a. x y O q r a x y O q r 2a (a,0) ③x2+y2 =2ay 即 圆心(0,a)，半径a x y O q r 2a (0,a) 4、极坐标的应用 例1 阿基米德螺线 很长的木棍上有一只蚂蚁,当木棍以匀角速度?0的转动时,蚂蚁以v0匀速向外爬行,求蚂蚁爬行的轨迹. 选一点 :蚂蚁爬行的路程. :木棍转过的角度. x y O q r ——阿基米德螺线 例2 作图 化为极坐标： …… (心型线) (1)极坐标下的面积元素 直角坐标系: 极坐标系： (2)极坐标下的被积函数 (3)极坐标下的积分次序 通常先 r 后 ? （二）二重积分的计算公式 区域特征如图 ①极点在区域D外 (4)极坐标下区域D的不等式表示 区域特征如图 区域特征如图 ②极点在区域D边界上 区域特征如图 ③极点在区域D内部 区域特征如图 ④极点被区域D所包围 二重积分在极坐标下的计算公式 (极点在区域外) (极点在区域边界) (极点在区域内) (极点被区域包围) （三）极坐标的应用范围 极坐标系下区域的面积 目标: 积分区域为圆域、圆环域或它们的一部分，被积函数为含x2+y2、x/y或y/x时, 常用极坐标进行计算. 解 例1 计算 积分区域如图: 和 无关 解: 例2 计算 积分区域如图: