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第五节 幂 级 数 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质 2.收敛性: 当 时,收敛；当 时,发散. 例如级数 收敛域 发散域 1.定义1 形如 的级数称为幂级数. 当 时, 其中 为幂级数系数. 一 幂级数及其收敛性 定理1 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 在 处收敛,则 它在满足不等式 的一切 处绝对收敛； 如果级数 在 处收敛,则它在满足不 等式 的一切 处发散. 证明 收敛, 使得 当 时,等比级数 收敛, 收敛,即级数 收敛. 几何意义 收敛区域 发散区域 发散区域 假设当 时发散, 而有一点 适合 使级数收敛. 由(1)结论,则级数当 时应收敛, 这与所设矛盾. 推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数 存在,使得 当 时,幂级数绝对收敛； 当 时,幂级数发散； 当 与 时,幂级数可能收敛也可能发散； 问题 如何求幂级数的收敛半径? 定义2 正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-R,R)称为幂级数的收敛区间. 从而决定了收敛域为以下四个区间之一: 规定 收敛域 (1)幂级数只在 处收敛, 收敛域 (2)幂级数对一切 都收敛, 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 ( ) 或 定理2 如果幂级数 的所有系数 , 设 (1)则当 时, (2)则当 时, (3)则当 时, 如果 存在 由比值审敛法, 当 时,级数 收敛, 从而级数 绝对收敛. 当 时,级数 发散, 并且从某个n开始 从而级数 发散, 收敛半径 定理证毕. 从而级数 绝对收敛. 收敛半径 如果 有 级数 收敛, 级数 必发散. 如果 (否则由定理1知将有点 使 收敛) 收敛半径 解 例1 求下列幂级数的收敛区间: 该级数发散； 当 时,级数为 该级数收敛； 当 时,级数为 故收敛域是 故收敛域是 级数只在 处收敛. 当 即 时,原级数收敛. 例2 求幂级数 的收敛域. 解 级数 缺少偶次幂的项, 对级数 用比值判别法 当 即 时,原级数发散. 当 级数为 ,收敛. 故原级数的收敛域为 例3 求幂级数 的收敛域. 解 令 ,原级数化为 当 时, ,级数 发散, 当 时, ,级数 收敛, 原级数的收敛域为 的收敛域为 1.代数运算性质 (1) 加（减）法 (其中 设 和 的收敛半径分别为 二 幂级数的运算及其性质 (2) 乘法 (其中 注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多. (3) 除法 在收敛域内 2.幂级数和函数的性质和求法: (2)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可积,且对 可逐项积分. 幂级数 的和函数 在收敛区间 内连续,在端点收敛,则在单侧连续. 收敛半径不变. 即 收敛半径不变. 即 (3)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可导,且对 可逐项求导任意次. * *