几何与代数-.pptVIP

x2 a2 + y2 b2 ? z2 c2 = ?1 (a0, b0, c0) 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 区 域: 截 面: 用z=h截得的截线 椭圆 用y=k截得的截线 双曲线 用x=l截得的截线与y=k类似 3. 双叶双曲面 x y z O z=c之上z=?c之下 无交 x2 a2 + y2 b2 ? z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) 对称性: 关于原点、坐标轴、坐标面对称 截 面: 用z=h截得的截线 椭圆 用y=k截得的截线 用x=l截得的截线与y=k类似 4. 二次锥面 x y z O 双曲线 两直线 过原点沿 椭圆移动 2. 单叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 ? z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 3. 双叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 ? z2 c2 = ?1 (a0, b0, c0) x y z O 4. 二次锥面 x2 a2 + y2 b2 ? z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) x y z O 5. 椭圆抛物面 2. 当秩(A) = 2时, 再配方 h(z1, z2, z3) = ?1z12 +?2z22 + b?z3 = 0 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 对称性: 关于yOz、 xOz 、z轴对称 区 域: 截 面: 椭圆 z?0 抛物线 g(y1, y2, y3) = ?1y12+?2y22+?3y32+b1?y1+b2?y2+b3?y3+c = 0 根据?1 , ?2 和常数 b? 取值 6. 双曲抛物面(马鞍面) x2 a2 ? y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 对称性: 关于yOz、 xOz 、z轴对称 区 域: 截 面: 无限伸展 抛物线开口向上 双曲线 双曲线 两直线 抛物线开口向下 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 x = Qy 保持原点不动的坐标轴旋转 坐标轴的平移 g(y) = yT?y + B’Ty + c = 0 y = z+? ?1z12 +?2z22 +?3z32 = bzi + d 一般的二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面 条件 方 程 p,q d 二次曲面 p=3,q=0 r(A)=3 b=0 椭球面 球面 p=2, q=1 d0 p=0,q=3 d0 单叶双曲面 d0 d0 双叶双曲面 d=0 二次锥面 r(A)=2 b?0 d=0 p=2, q=0 椭圆抛物面 p=1, q=1 双曲抛物面 r(A)=2 b=0 d?0 p=2, q=0 椭圆柱面 p=1, q=1 双曲柱面 r(A)=1 d=0 p=1, q=0 p=0, q=1 抛物柱面 例9. 利用直角坐标变换求方程z = xy所表示的曲面, 并作图. 解: xy = [x, y, z] 0 1/2 0 1/2 0 0 x y z , 0 0 0 求得正交矩阵Q = , 2 1 2 1 2 1 2 ?1 0 0 0 0 1 使QT , Q = 1/2 0 0 0 ?1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 可见原方程表示一个双曲抛物面. 则原方程化为 u2 ?v2 = 2w, x y z 令 = , 2 1 2 1 2 1 2 ?1 0 0 0 0 1 u v w y x z O f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3 = 1 例10. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面. 解: f 的矩阵A = 2 1 0 1 1 k/2 , 0 k/2 1 上述方程表示一个椭球面?A正定, ?2 = 2 1 1 1 = 1 0, 而?1 = 2 0, ?3 = |A| = 1?k2/2. 由此可得, ? k 时, 原方程表示一个椭球面. 2 2 x2 + y2 + z2 ? 2xz + 4x + 2y ? 4z ? 5 = 0 例11. 试用直角坐标变换化简下面的方程. 解: 令A = 1 0 ?1 0 1 0 , ?