函数的凸性与拐点(-).pptVIP

* * §4.2 函数的凸性与拐点 a b a b a b a b (1)单调增 (2)单调增 (3)单调减 (4)单调减 前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的 (2) 若总有 则称f (x)在 [ a , b] 上是 凹函数 说明: (1) 图(1)、(3)所表示的函数是凸函数 两个不同的点 x1 , x2 ， 则称 f (x) 在 [a, b] 上是 凸函数; (1) 若总有 设 y =f (x) 在[a, b]上有定义 , 对于[a, b]上任意 定义 (2) 图(2)、(4)所表示的函数是凹函数 (3) 凹凸函数的另一重要特征: 凹函数 a b 凸函数的切线斜率 f ?(x) 单调增加 凹函数的切线斜率 f ?(x)单调减少 凸函数 a b 定理 (一阶充分条件) 若 f (x)在 [a, b] 上连续, (a , b)内可导, 且 f ?(x)在 (a , b)内单调增加(或减少), 则 f (x) 在[a , b]是凸函数 (凹函数 ) 任取 x1 , x2? [a , b] , x1 x2 , 相加得 由于 f ?(x) 单调增 , ?2 ?1 , 知 f ?(?2) f ?(?1) 利用拉格朗日中值定理有 证明: 记 判断 f ?(x) 单调性可用 f ? ?(x) 的符号 定理 (二阶充分条件) (1) 可放宽成 f? (x) ? 0 及 f? (x)=0 的点不形成区间 说明: (2) 当 f (x) 二阶可导时, f? (x) ? 0 也是 f (x) 在[a , b] 上是凸函数的必要条件 设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 则 (2) 如果在 (a , b) 内 f? (x) 0 , 则 f (x) 是 [a, b]上的 (1) 如果在 (a , b) 内 f? (x) 0 , 则 f (x)是 [a , b] 上的 凹函数 凸函数 定理 (凸或凹函数的必要条件） 设 f (x) 在 [a , b] 上连续, (a , b)内有二阶导数, 且 ( 或?0 ) f (x) 是 [a , b] 上的凸(或凹)函数 , 则在 (a , b) 内恒有 证明 见教材 解 当 x? (- ? , 0)时, f ?(x) 0 ? f (x) 是凸的 当 x? ( 0, 1 )时, f ?(x) 0 ? f (x) 是凹的 当 x? ( 1, +∞ )时, f ?(x) 0 ? f (x) 是凸的 例(划分凹凸区间) 讨论 的凹凸区间 f ?(x) 有两个零点 x1= 0, x2 = 1, 并将定义域 分成三个子区间 凸函数的性质: 利用泰勒公式 , 有 x0 凸函数 其中 ? 介于 x0 与 x 之间 可知 设 f (x)是 [a , b]上二阶可导的函数, x , x0 是 [a , b]上的任意两点 , 则 性质 1 证明: 由于 f ?(?) ? 0 , 不妨设 x1 x2 , 令 x0= ?1 x1+?2 x2 , 利用性质 1 , 有 性质 2 (杰森不等式) 设 f (x) 是 [ a , b]上二阶可导 的凸函数, 则对[ a , b ]内任意两点 x1 、x2 ,以及 任意两个正数 ?1 、?2 , ?1+ ?2 =1 , 则有 证明 则 x0?(x1 , x2) , 即 杰森不等式的几何意义: x1 x0 x2 x1 x0 x2 凸函数 对于二阶可导的凹函数, 性质1 和性质2 中的 不等式反号 说明: 凹函数 ? f (x) 在 R 上是凸函数, 据杰森不等式有 即有 (3) 若在[a , b]上 f ?(x) 0, 则性质 1和性质 2 中的 不等式当 x ? x0 和 x1 ? x2 时为严格不等式 . 解 设 则 证明:对任意实数 x ? y , 例 有