函数的凸性.pptVIP

中值定理与导数的应用 一、曲线凹凸的定义 三、曲线的拐点及其求法 四、小结 * 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方(凸的) 图形上任意弧段位 于所张弦的下方(凹的) 4.3.3函数的凸性 o x y x1 x2 f (x1) f (x2) A B 在凹曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)， (x1x2) 由于f是凹函数，所以f在x的值不大于点x在弦AB上对应的值。于是有 可改写成 令 易见 所以有 则有 (假设f是凸的） 定义1: 设f (x)?C ( [a, b] ) ，若任取x1, x2 ?[a, b] ??1≧0，? 2≧ 0 ，?1+? 2=1, 恒有不等式 则称曲线y=f (x)在[a, b]上是凹函数 (凸函数). ( ) 则称曲线y=f (x)在[a, b]上是严格凹函数 ( ) (严格凸函数). 定理4.3.4. 设f (x)?C [a,b]且在(a,b)内可导. 则曲线 y=f (x) 在[a, b]上为凹的(凸的)充分必要条件是 f (x)在(a, b)内单调增加(减少). 二、曲线凹凸的判定 定理4.3.5 例1. 讨论曲线y=lnx在(0, +?)内的凹凸性. 解: 由定理3知曲线 y=lnx在(0, +?)内是凸的. o y x 1 y=lnx 例2 解 注意到, 定义1中有 y=f (x)凹 ?? f (t x1+(1?t)x2) tf (x1)+ (1?t)f (x2) 特别地取 y=f (x)凹 ?? 其中 x0，y0。 例3. 证明 x0, y0 且 x?y 时，有 其中n1. 证：令 f ( t )= tn. ( t 0 ) f ( t )=n(n?1) t n?2 0. ( t 0) 故t 0时 f (t)的曲线为凹的. 得 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 方法1: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 方法2: 例3 解 注意: 例4 解 曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 思考题 思考题解答 例 练 习 题 练习题答案 * *