函数的凹凸与图形的描绘.pptVIP

第四节 导数的应用 (二) 一、函数的极值 归纳：求极值的步骤 1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不可导点,由第一判别法进行判断; 2.求二阶导函数,由第二判别法进行判断 求最值的步骤 1.求出驻点和不可导点(有的话); 2.比较端点、驻点、不可导点的函数值，哪个大为最大值，哪个小为最小值。 三、曲线凹凸性 1、曲线凹凸的判定 四、曲线的拐点及其求法 求拐点的步骤 五、函数曲线的渐近线 六、图形描绘的步骤 小结 作业(P59习题二) 30 31（1）（5）（8） 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 注意: 例1 解 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势; 第五步 例1 解 无奇偶性及周期性. 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 作图举例 拐点 极大值 极小值 例2 解 非奇非偶函数,且无对称性. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 例3 解 偶函数, 图形关于y轴对称. * * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 定理2 (第一判别法) (是极值点情形) 用定理2求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理2-1 (第二判别法) 例2 解 图形如下 注意: 例3 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 注意:极值是函数局部性形态特征, 极大值不一定比极小值大, 极小值也不一定比极大值小 注意:区间内只有一个极值时, 这个值就是最 值； 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 定理1 例1 解 注意到, 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 证 方法: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 注意: 定义: 1.垂直渐近线 例如 有铅直渐近线两条: