函数的图形与曲率.pptVIP

§3 . 11 3. 11. 1 曲线的渐近线 1. 水平与铅（垂）直渐近线 2. 斜渐近线 例2. 求曲线 3. 11 .2 函数图形的描绘的步骤 例3. 描绘 例4. 描绘方程 6）绘图 例5. 描绘函数 3. 11. 3 弧微分 3.11.4 曲率及其计算公式 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 说明: 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例3. 求椭圆 3. 11. 5 曲率圆与曲率半径 设曲线方程为 例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 例5. 求摆线 摆线 内容小结 思考与练习 2. 曲线 作业 备用题 求笛卡儿叶形线 笛卡儿叶形线 1. 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拐点为 , 凸区间是 , 的凹区间是 , 提示: 及 渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P75 13 (2); P166 2 ; 5 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 * 3. 11. 1 曲线的渐近线 3. 11. 2 函数图形的描绘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第3章 3. 11. 3 弧微分 3. 11. 4 曲率及其计算公式 3. 11. 5 曲率圆与曲率半径 与平面曲线的曲率 无渐近线 . 点 M 与 定义 ：当一动点M 沿着曲线 C 无限地远离原点时， 则称直线 L 为曲 例如, 双曲线 有渐近线： 但抛物线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 某一直线 L 的距离（纵或横坐标差）趋于 线C 的渐近线 。 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有斜渐近线 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 1. 确定作图的区域，即函数 的定义域 , 对称性、周期性 、有界性; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及上、下凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求 5. 确定某些特殊点（与纵、横轴的交点） , 描绘函数的图形。 等于 0 和不收敛 的点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并考虑 （可疑的极值点与可疑的拐点） ; 的渐近线 ; 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点） (极小) 4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又因 即 5) 求特殊点 为斜渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (极大) (极小) 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无定义 的图形. 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 求关键点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态 (极大) (拐点) (极大) (拐点) 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大