初等矩阵和方阵的逆矩阵.pptVIP

* ? 一. 矩阵的初等变换 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1+2x2 ?x3 = ?3 2x1+2x2 ?6x3 = ?2 x1+2x2 ?x3 = ?3 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1 + x2?3x3 = ?1 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 ?x2?2x3 = 2 ?2 ?(?1) x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ? 2 0 = 0 ?1/2 ?1 ?2 ?3 4 4 1 2 ?1 ?3 2 2 ?6 ?2 轻装上阵 1 2 ?1 ?3 ?2 ?3 4 4 1 1 ?3 ?1 ?1/2 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 ?1 ?2 2 ?2 ?(?1) 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?1 矩阵的 初等变换 第一章 矩阵 ? 1.下面三种变换称为矩阵的初等行变换. 把上述定义中的 “行” 换成 “列”, 即得到初 等列变换的定义 (相应的记号是把“r”换成 “c”). 初等行变换与初等列变换统称为初等变换. (1) 对调两行(对调i, j两行记为ri ?rj), (2) 以非零的数k乘某一行中的所有元素 (第i行乘以k记为kri), (3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行对 应的元素上去(第j行的k倍加到第i行记 为ri+krj). 第一章 矩阵 ? 第1章 矩阵 ? 2. 阶梯形矩阵与行最简形矩阵 则称A为行阶梯形矩阵. 这时称A中非零行的 行数为A的阶梯数. 例如 如果矩阵A满足如下条件 若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于 最下方, 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为 零的元)的列标随行标的递增而递增, 1 1 0 0 4 0 1 0 2 ?2 0 0 0 ?2 3 0 0 0 0 4 1 1 ?2 0 4 0 1 3 2 ?2 0 0 0 ?2 3 0 0 0 0 0 , 第一章 矩阵 ? 则称A为行最简形矩阵. 例如 如果阶梯阵A还满足如下条件： 各非零首元全为1, 非零行的非零首元所在列的其余元素全为0, 1 0 ?2 0 1 0 1 3 0 ?2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 第一章 矩阵 矩阵的等价，等价标准形 ? 第1章 矩阵 E(i, j) = 第i行 1 1 0 … … … 1 1 … … … 0 1 1 1 1 … … … … … … 第j行 第 i 列 第 j 列 ? 第一章 矩阵 E(i(k)) = 第i行 1 k 1 1 第 i 列 1 ? 第一章 矩阵 E(i, j(k)) = 第i行 1 … … k 1 1 …… 第j行 第 i 列 第 j 列 1 ? 第一章 矩阵 x 二. 初等矩阵 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3 y z a b c 1 2 a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ? 第一章 矩阵 a 1 0 0 0 1 0 0 0 k 3k b c x y z k 2k a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 k ?k ? 第一章 矩阵 a+kx 1 k 0 0 1 0 0 0 1 3 b+ky c+kz x y z 1 2 a b c x y z 1 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 k 0 0 1 0 0 0 1 ?k ? 第一章 矩阵 a x