力学中的数学方法-张量-.pptVIP

1.5 张量的微分与积分 * * §1.4 张量的代数性质 在分量表示法中，与分量指标相配的基矢量被省略了，但隐含如下约定：所讨论的同阶张量都具有相同的基，并且张量指标的正常排列顺序应和基矢量的顺序相同，否则就是转置张量。 例如： 一、隐含约定 对1，2指标的转置张量为： 而张量S的按其分量应记为： 故 (见：黄克智等《张量分析》第2版，清华大学出版社，p31) 二、 二阶张量的分解 任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即： 反对称张量 对称张量 三、 高阶张量的对称和反对称 高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的： 四、两个二阶张量点乘有下面性质 证明： 1） 1） 2） 证明： 利用 即 2） 五、实对称方阵的本征值(特征值)与本征矢量（特征向量） 实对称方阵对应实对称二阶张量 在连续介质力学中，常出现下述形式的齐次代数方程 参见：匡震邦《非线性连续介质力学基础》和黄克智等《张量分析》 （可写成 ） （可写成 ） 特征值 特征方程 对应三个根 的三组非零解 ，各自构成不同的矢量方向，称为特征矢量 1）坐标变换 x y z x’ y’ z’ 六、坐标变换与二阶张量不变量 两个直角坐标系，基矢量分别为 两个坐标系坐标轴夹角余弦 基矢量间的变换 有9个分量，构成二阶张量 注意到 同理 张量记法 矩阵记法 是正交张量， 是归一化正交矩阵 坐标轴旋转 类似于矢量的坐标变换 二阶张量的坐标变换 2）二阶变量的不变量 由 由 七、各向同性张量 在所有正交变换下分量都相同的张量，称为各向同性张量