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最优化理论 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 2.4 凸函数 Df2. 10 设S?Rn是非空凸集,函数f:S?R,若对任意x1, x2∈S,和每一λ∈(0, 1)都有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) 则称f是S上的凸函数.若上面的不等式对于x?y严格成立,则称f是S上的严格凸函数. 若-f是S上的凸函数,则称f是S上的凹函数.若-f是S上的严格凸函数,则称f是S上的严格凹函数. 2.4.1 基本性质 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * Th2.13 设 f 是一凸函数,则对任意的x?Rn 和d(?0 )?Rn,f在x处沿方向d的方向导数存在。 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2.凸集与凸函数 TP SHUAI * 命题2.3 设f是定义在凸集S上的凸函数,则 (1)所有凸函数f的集合关于凸锥组合运算是封闭的,即(a)实数??0,则?f也是定义在S上的凸函数(b)设f1和f2是定义在凸集S上的凸函数,则f1+f2也是定义在S上的凸函数 2. 凸集与凸函数 (2)函数f在开集intS内是连续的. (3)函数f的水平集L(f,?)={x|x?S,f(x) ≤?},??R 和上镜图epi(f)={(x,y)|x?S,y?R,y≥f(x)} 都是凸集 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 设S 为Rn中的非空凸集,则 f(x) 是凸的当且仅当上镜图 epif={(x, y) | x∈S, y∈R, y≥f(x)}是凸集 对上镜图事实上我们有如下定理 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 定理2.14 设S?Rn为一非空凸集,f是定义在S上的凸函数,则f在S上的局部极小点是整体极小点,且极小点的集合为凸集。 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 2.5.2 凸函数的判别 Th2.16. 设S 是Rn 中的非空开凸集, f(x):S?R 是可微的函数 则 f(x) 是凸函数当且仅当对任意的 x*?S, 我们有 f(x) ? f(x*)+?f(x*) (x-x*), 任意 x?S. 类似的, f(x) 严格凸当且仅当对每一 x*?S, f(x) f(x*)+?f(x*) (x-x*), 任意 x?S. 2.4.2 凸函数的判别 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 Th 2.16*. 设S 是 Rn 上的非空开凸集, f(x) 为 S 到 R上的可微函数. 则 f(x) 是凸函数当且仅当任意的 x1, x2 ?S, 有 (?f(x2)-?f(x1))(x2-x1)?0. 类似的, f 严格凸当且仅当对任意相异的 x1, x2 ?S, (?f(x2)-?f(x1))(x2-x1)0. TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 Def 2.11 . 设 S 是Rn 上的非空开集, f(x) f(x):S?R 的函数 则 f(x) 在点x*?int(S)称为二次可微的,若存在向量?f(x*), 和 n?n (Hessian) 矩阵 H(x*) , 及函数 ?: Rn ?R 使得对所有的 x?S, f(x) = f(x*)+?f(x*) (x-x*)+0.5(x-x*) H(x*) (x-x*)+||x-x*|| ? (x-x*) 其中 lim ? (x-x*)=0. 2 x* x* x?x* Th 2.17 设S 是 Rn a上的非空开凸集, f(x) 为 S 到 R上的二次可微函数. 则(1) f(x) 是凸函数当且仅当S上每一点的Hessian矩阵是半正定的. (2) f(x) 是严格凸函数当且仅当S上每一点的Hessian矩阵是正定的. TP SHUAI * 凸规划 2. 凸集与凸函数 *TP SHUAI TP SHUAI * 最优化理论与算法 帅天平 北京邮电大学数学系 §2,凸分析与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 2.1 凸集与锥 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 TP SHUAI * 2. 凸集与凸函数 x0 x x-x0 p

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