博弈论与信息经济学--纳什均衡存在性.pptVIP

博弈论与信息经济学 第2章 完全但不完美信息静态博弈-3 ——纳什均衡的存在性 四个均衡概念的关系 占优战略均衡(DSE)、重复剔除的占优均衡(IEDE)、纯战略纳什均衡(PNE)和混合战略纳什均衡(MNE)，每个均衡概念依次是前一个均衡概念的扩展，或者说，前一个均衡概念是后一个均衡概念的特例。 如果将存在某个适当定义的均衡的所有博弈称为一个集合，那么，存在前一个均衡的集合依次为存在后一个均衡的集合的子集 纳什均衡的存在性 是不是所有的博弈都存在纳什均衡呢? 不一定。但是，纳什(Nash，1950)证明，任何有限博弈都存在至少一个纳什均衡。 纳什均衡的存在性定理-I (Nash，I950)：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡(纯战略的或混合战略的)。 这里，有限博弈指的是有有限个参与人且每个参与人有有限个纯战略的博弈。 均衡与不动点 在经济学中，说明一个方程系统存在均衡解的方法是将问题变成寻找一个适当构造的某种集合A?RN到其自身(A)的函数或对应的不动点。 纳什均衡存在性定理的证明要用到Kakutani不动点定理(fixed point theorem)。 Kakutani不动点定理是关于映射的Brouwer不动点定理在对应上的扩展。 一个向量x是映射f(.)的Brouwer不动点，如果x=f(x)；或者是对应f(.)的Kakutani不动点，如果x ?f(x)。即，向量映射或对应到自身，并且保持固定。 函数与对应 函数或映射是集合上点与点之间的联系规则，对应(correspondence)是集合上点与子集之间的联系规则。 简单地说，给定X上的一个点x，如果f(x)给出唯一的一个点y∈Y，f(x)称为从X到Y的函数；如果f(x)给出一个点集Y(x)?Y，f(x)称为从X到Y的对应。 函数或映射是对应的特例，即Y(x)只包含唯一点的情况，而函数也可以看作是映射的特例，因为映射允许集合的元素是非实数。 反应函数与反应对应 在库诺特模型中，给定企业j的产量qj，企业i的最优产量qi是唯一的，我们称qi = Ri(qj)为企业i的反应函数。 在两人混合战略均衡中，给定参与人j的（均衡）混合战略σj，参与人i可能有无穷多个最优混合战略σi，我们称σi = ri(σj)为i的反应对应。 Brouwer不动点定理 假定f(x)是定义在点集X上的函数。如果f(x)是自身对自身的映射(即f: X → X)， f(x)是连续的，X是非空的、紧的（有界的和闭的）、凸集合，那么，至少存在一个x*∈X，使得f(x*) = x*， x*称为不动点。 函数的连续性及集合的闭性(有界且包括边界)、有界性(有极限点)和凸性是保证不动点存在的充分条件，而不是必要条件。即使这些条件都不满足，不动点也可能存在。 凸集 凸集合：集合A?RN是凸的，如果 ?x + (1- ?)x’ ? A，其中， x，x’ ? A，并且? ? [0，1]。 也就是说，如果RN中的一个集合A是凸的，那么，如果它含有两个向量x和x’，就包含连接这两个向量的整个线段(这两个向量的凸组合或加权平均)。 Kakutani不动点定理 假定f(x): X→X是定义在点集X上的对应，如果X是非空的、闭的、有界的和凸的，f(x)对于所有的x∈X是非空的、凸的，且上半连续(upper semi-continuous)，那么，至少存在一个x*∈X，使得x*∈f(x*)，称为不动点。 对应的上半连续性等价于Brouwer不动点定理中函数的连续性。 函数的连续性 连续的三个要素：有定义、有极限、极限值等于函数值，缺一不可。 函数的连续性 对应的连续性 给定X?RN和Y?RK，对应f：X?Y的图像(graph)是像集合{(x, y)?X?Y：y?f(x)}。 给定X?RN和闭集Y?RK，如果对于任意两个序列xm ?x?X和ym?y，且对于每一m, xm?X及ym?f(xm)，有y?f(x)，则对应f：X?Y有一个闭图。 闭图的概念就是通常意义上的闭性（相对于X?Y）应用于集合{(x, y)?X?Y：y?f(x)}。 对应的上半连续性 给定X?RN和闭集Y?RK，对应f：X?Y是上半连续的，如果它有闭图，且X中任意紧集的像是有界的。这意味着，在上半连续对应下，紧集的像实际上是紧的（有界且闭的）。 对应的上半连续要求，对于所有的x0∈X和包含f(x0)的开集V，存在一个x0的邻域U，使得对于所有的x∈U，有f(x)?V。 m维的欧几里德几何空间Em的子集N叫作点p∈Em的一个邻域，如果对于某个实数r?0，以p为中心，以r为半径的闭圆盘包含在N内。 对应的下半连续性 给定A?RN和紧集Y?RK，对应f：A?Y是下半连续的，如果对于每一个序列xm ?x?A，并且对于所有的m有xm?A，以及对于每一个y?