南大复变函数与积分变换课件(PPT版) 复数的几种表示.pptVIP

复变函数 欧拉的记忆力惊人！ 附： 人物介绍 —— 欧拉 能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil， 能背诵“全部”的数学公式， 直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部” 内容。 能背诵前一百个质数的前十次幂， * 第一章 复数与复变函数 §1.2 复数的几种表示 §1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示 三、复数的乘幂与方根 四、几个关系 一、复数的几何表示 1. 复平面 此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。 在平面上建立一个直角坐标系， 定义 用坐标为 的点来 表示复数 从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来， 的平面称为复平面或者 这样表示复数 z z 平面。 P4 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 在复平面上，从原点到点 所引的向量与该复数 z 也构成一一 一、复数的几何表示 1. 复平面 y 实轴 虚轴 x O 对应关系(复数零对应零向量)。 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。 将复数和向量对应之后，除了利用 实部与虚部来给定一个复数以外， 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 y x O x y 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数， (1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 还可以借助向量的长度与方向来给 定一个复数。 (2) 向量 z 的“方向角” 称为复数 z 的辐角，记为 (?) P5 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 x y + - 两点说明 (1) 辐角是多值的， (2) 辐角的符号约定为： 逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差 其中 k 为整数。 例如 对于复数 则有 复数 0 的模为 0，辐角无意义。 注 由此就有如下关系： 一、复数的几何表示 2. 复数的模与辐角 主辐角 对于给定的复数 设有 满足： 且 则称 为复数 z 的主辐角，记作 解 x y (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示 3. 相互转换关系 y x O x y P7 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 一、复数的几何表示 3. 相互转换关系 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 由此引出复数的三角表示式。 y x O x y 二、复数的三角表示和指数表示 1. 复数的三角表示 称 为复数 z 的三角表示式。 y x O x y 如图， 有 定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 由 P9 二、复数的三角表示和指数表示 2. 复数的指数表示 利用欧拉公式 得 称 为复数 z 的指数表示式。 定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 但习惯上一般取为主辐角。 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的， 注 补 (欧拉公式) 解 x y 复数 的三角表示式为 复数 的指数表示式为 二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 乘法 即 (在集合意义下?) 两个复数乘积的 幅角等于它们幅角的和。 模等于它们的模的乘积； P10 补 、 (集合意义) 二、复数的三角表示和指数表示 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 设 除法 (在集合意义下) 两个复数的商的 幅角等于它们幅角的差。 模等于它们的模的商； 即 例 计算 解 由 有 附 一些“简单”复数的指数形式 解 由 有 P11 例1.5 修改 复数 z 的乘幂， 设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为 定义 三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂 设 则 法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 即 记为 P12 三、复数的乘幂与方根 1. 复数的乘幂 由 以及复数的三角表示式可得 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 棣莫弗(De Moivre)公式 进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。 例 此外，显然有 由此引出方根的概念。 复数 w ， 三、复数的乘幂与方根 2. 复数的方根 称为把复数 开 n 次方，或者称为求复数 的 复数求方根是复数乘幂的逆运算。 设 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 的 定义 n 次方根， 记作