同济大学《高等数学》(第四版)-节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率.pptVIP

思考题解答 不对． 练 习 题 练习题答案 * 一、隐函数的导数 1. 隐函数的概念 所谓函数y=f(x)表示的是两个变量x和y之间的关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示. 例如, y=xn, y=sinx都反映了这种对应关系． 这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的取值．用这种方式表达的函数称为显函数． 但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程F(x,y)=0来确定的．通过方程可以确定x和y的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来表示．例如方程 x+y3-1=0 就在区间(?∞+∞)上确定了一个隐函数y=y(x)。 又如方程, x2+y2=1当限定y＞0，则在区间(-1, 1)内确定了一个隐函数． 一、隐函数的导数 一、隐函数的导数 在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如x+y3-1=0，相应的函数关系可转化成 但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如 由 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式． 隐函数的求导方法—— 将方程两边同时对自变量x求导。 一、隐函数的导数 1. 隐函数的概念 然后, 从这个式子中解出 y ?, 就得到隐函数的导数. 例1 解 解得 注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 解 将方程两边同时对 x 求导，得： 因为当 x = 0时，从原方程可以解得 y = 0 所以 解 将方程两边同时对 x 求导，得： 将上式两边再对 x 求导得： 注意 y 是 x 的函数 例4 二、对数求导法 所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是： 1.幂指函数 2.多个函数乘积形式． ◆对数求导法 两边取对数，得 将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得： 解法2 解法1 转化为初等函数，直接求导法 转化为隐函数，对数求导法 例5 一般地，利用对数求导法对幂指函数 求导，可得到一般公式： 练习 设 解答 两边取对数，得 两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得： 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。 例6 解 解 解 所以 (3) 解 等式两边取对数得 三、由参数方程所确定的函数的导数 在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，例如，参数方程 表示的中心在原点、半径为r的圆．通过参数θ 可以建立y与x的对应关系： 三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解 所求切线方程为 例7 解 例8 解 解 四、相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例9 设圆的面积为A， 半径为 ，如果半径 以 3mm/s的速度增加，求面积A的增加速度。 解 因为 所以 而 所以 例10 解 仰角增加率 例11 解 水面上升之速率 4000m 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. 思考题 *