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固体物理 第章 能带理论
* §4-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似法 一、模型和微扰计算 下图是一维周期场的示意图。近自由电子近似是指假定周期场的 起伏比较小，用势场的平均值 代替 作为零级近似，而将 看作微扰项。 零级近似的波动方程为： 其解为自由粒子的解： L=Na为归一化因子，引入周期性边界条件后： 取整数 根据定态微扰理论，本征值的一级和二级修正及本征函数的一级修正 为： 能量非简并： （1） （2） = 令 ，则 ，于是有 若 若 最后得： （3） 因此近似波函数及本征值为： 能量简并： 前面讨论时要求 ，但当 时，零级近似能量相等 即能量简并时，会造成分母为零的发散情况。一般情况 下，平面波受到各原子所产生的散射波的位相之间没有什么关系， 彼此互相抵消，周期场对前进的平面波影响不大，散射波中各成分 的振幅较小，这正是微扰法适用的情况。但是如果相邻原子所产生 的散射波成分有相同的位相，它们将相干加强，造成一级修正项太 大，使得微扰法不再适用，即对存在简并态时需要另行处理。 假定 态和 态接近布拉格反射条件即： 为一大于零的小量， 将零级波函数表示为： 代入定态薛定谔方程并经过适当的简单处理可以得到： 其中利用到： 该关于A，B的齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零， 即； 得到： （1） ，即讨论离简并态 较远时， 态存在较大能量 差别的情形。 将上式按 展开取一级近似得： 该结果和非简并微扰相似，只是存在相互影响。相互影响的结果是能 量较高的态能量进一步升高，能量较低的态能量进一步下降。 （2） ，即讨论离简并态 较近时， 态存在较小能量 差别的情形。 按 展开取一级近似得到； 这里 代表自由电子在 状态的动能。 下图给从了微扰后的能量和零级能量的比较。 *
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