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复习– 6 无穷级数 1.数项级数的审敛法 (3) 任意项级数审敛法 3. 函数展开成幂级数 4. 幂级数和函数的求法 5. 傅里叶级数 (3) 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 实例分析 2. 幂级数 3. 级数 5. 设 选择题 ( 题6-10 ) 7. 设 8. 设级数 9.已知 10. 设函数 11. 证明: 若 13. 讨论 a 为何值时级数 14. 设 15. 若级数 16. 试求幂级数 17. 将函数 18. 将函数 19. 将 20. 将函数 备用题: 1. 判别级数 2. 求级数 3. 求幂级数 4. 将 5. 已知 展成 x 的幂级数, 求? 的无穷 解: ( x = ±1 时 , 上述级数也收敛 ) 级数表达式 . 令 x = 1 得 * 返回 上页 下页 结束 主要考点: ?数项级数的判敛 ?幂级数求收敛域、和函数及函数的幂级数展开 ?傅氏级数展开及收敛问题 (1) 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 (2) 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 Leibniz判别法: 且 则交错级数 收敛 , —绝对收敛与条件收敛 且余项 绝对收敛的判别 — 利用正项级数判别法 2. 求幂级数收敛域的方法 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性. 若 ? 直接展开法 ? 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 常用公式: 求导 展式 ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 (1) 周期为 2? 的函数的傅里叶展开 其中 注意: 若 为间断点,则级数收敛于 (2) 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 注意: ( x ?间断点) 其中 为正弦级数. 2) 当f (x)为奇函数时, 为间断点,级数收敛于 1) 若 为余弦级数. 当f (x)为偶函数时, 级数收敛 , 当 时级数发散 . 当 时 提示: 故 a 1 时原级数收敛 ; a 1 时原级数发散 ; a = 1 时, 故原级数也发散 1. 给定级数 填空题 ( 题 1-5 ) 的收敛域为 提示: 令 当 时 , 级数为 , 发散 则化为标准幂级数 其收敛半径为 故原级数级数的收敛域为 即 故原级数收敛域为 4. 设 , 又设 S(x) 是 f (x) 的 以 2? 为周期的余弦级数展开式的和函数, 则 提示: 的收敛半径 R = . 提示: ( 03届考题) 的傅立叶级数为 则系数 , 级数在 处收敛于 提示: ( 常数 a 0 ) ( ) 6. 级数 (A) 发散; (B) 条件收敛 ; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性与 a 的有关 . ( L. P504 题29 ) 提示: 故原级数绝对收敛 . C ～ 肯定收敛的是（ ) 则下列级数中 提示: D 收敛 绝对收敛 的收敛半径为R1 , 则必有( ) 提示: 参看P196 性质1 及P198 注. C 的收敛半径为 R, 级数 例如, 时, 收敛半径 R = 1, ( 02届考题) 在 收敛 , 则此级数在 处 ( ) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 提示: 令 由阿贝尔定理知 B 因此 时绝对收敛 , 即 处绝对收敛 . 原级数在 而其傅立叶级数为 其中 则 提示: S (x) 是对 f (x) 在 (–1 , 0 ) 上作奇延拓后展开 B 的傅立叶级数 12. 判别级数 的敛散性. 则级数 发散 . 证: 由于 解: 该级数为交错级数, 且 , 故级数收敛 . ( 03届考题) (