复变函数,.pptVIP

复习与回顾 可导（解析）充要条件 2.2 初等函数及其解析性 二、对数函数 注解 三、乘幂 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 (注意：这是与实变函数完全不同的) 其他复变数三角函数的定义 双曲余弦 双曲正弦 * * 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: 评论： 1. 与实函数的可导定义形式相同。 2. 复杂性在于 3. f(z) 在点可导则f(z)在此点连续, 反之不对. · · 在一点解析 · 在一点可导 仅在此点满足导数定义 此点和其某领域内点点满足 导数定义 一点解析 一点可导，反之不对 在区域内可导 在区域内解析 因为区域为开集，故点点可导 点点解析 反之显然 定理 推论 ： 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 回 顾 如果用 代替 时可以得 到， 欧拉公式 欧拉公式 例1 1. 定义 多对一 一对多 其余各值为 特殊地, 例2 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 复变量对数函数具有与实变量对数函数同样 的基本性质： （1） （2） （3） （4） 或者 1. 乘幂的定义 注意: 一对多 特殊情况: 例 解 2. 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, （复合函数求导） 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况. 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.